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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 14

Calcule a integral indefinida:

int (x^3 d x)/((25 - x^2)^2)

Passo 1

Pessoal, antes de tentar resolver a integral, vamos fazer a seguinte manipulação:

int (x^2 * x d x)/((25 - x^2)^2)

Pronto! Vamos tentar a substituição u = 25 - x^2 -> d u = - 2 x d x -> d x = - (d u)/(2) . Vamos tentar trocar a variável da integral.

int (x^2 * x d x)/((25 - x^2)^2) = int (x^2 * (- (d u)/(2)))/(u^2)

Perceba que a integral não está totalmente na variável u , ainda sobrou um x^2 , porém, temos que x^2 = 25 - u , então:

int (x^2 * x d x)/((25 - x^2)^2) = int (( 25 - u ) * (- (d u)/(2)))/(u^2) = - (1)/(2) int (25 - u)/(u^2) d u

Essa é uma integral quase imediata.

Passo 2

Para resolver a integral acima, vamos fazer o seguinte:

- (1)/(2) int (25 - u)/(u^2) d u = - (1)/(2) int ((25)/(u^2) - (u)/(u^2)) d u = - (1)/(2) int (25 u^(- 2) - (1)/(u)) d u

Agora vamos usar int u^n d u = (u^(n + 1))/(n + 1) + C n != - 1 e int (1)/(u) d u = ln |u| + C .

- (1)/(2) int (25 u^(- 2) - (1)/(u)) d u = - (1)/(2) ((25 u^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) - ln |u|) + C

= (1)/(2) ((25)/(u) + ln |u|) + C

Passo 3

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo u = 25 - x^2 , então:

int (x^3 d x)/((25 - x^2)^2) = (1)/(2) ((25)/(u) + ln |u|) + C = (1)/(2) ((25)/(25 - x^2) + ln |25 - x^2|) + C

Resposta

int (x^3 d x)/((25 - x^2)^2) = (1)/(2) ((25)/(25 - x^2) + ln |25 - x^2|) + C

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