Calcule a integral

∫ 5 + 4 x - x 2   d x

Passo 1

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral. Agora chega de papinho e vamos la.

Temos que

5 + 4 x - x 2 = - x 2 + 4 x - 4 + 9 = 3 2 - x - 2 2

Olhando essa configuração aí que seria algo como “ a 2 - x 2 ” que se faz a substicuição “ x = a sen ⁡ θ ”, então fazemos a substituição:

x - 2 = 3 sen ⁡ θ

Diferenciando, temos que

d x = 3 cos ⁡ θ d θ

Tudo beleza?! Vamos substituir isso na nossa integral

∫ 5 + 4 x - x 2   d x = ∫ 3 2 - x - 2 2   d x = ∫ 3 2 - 3 sen ⁡ θ 2 3 cos ⁡ θ d θ

= ∫ 3 2 1 - sen 2 ⁡ θ 3 cos ⁡ θ d θ

Ta lembra daquela propriedade trigonométrica: cos 2 ⁡ θ = 1 - sen 2 ⁡ θ ?! Vamos usá-la, então, substituindo

∫ 3 2 1 - sen 2 ⁡ θ 3 cos ⁡ θ d θ = ∫ 3 2 cos 2 ⁡ θ 3 cos ⁡ θ d θ = ∫ 3 cos ⁡ θ 3 cos ⁡ θ d θ

= ∫ 9 cos 2 ⁡ θ d θ

Passo 2

Show... agora precisamos só achar a integral dessa parada aí:

∫ 9 cos 2 ⁡ θ d θ =   ?

Pra resolver isso a gente usa a definição de arco duplo:

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

Ficamos com:

∫ 9 cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ 9 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

E isso a gente sabe resolver, né:

∫ 9 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ = 9 2 ∫ d θ + 9 2 ∫ cos ⁡ 2 θ d θ =

= 9 2 θ + 9 2 sen ⁡ 2 θ 2 + C

Passo 3

Agora temos que voltar tudo pra x (a gente que lute...)

Mas a substituição que fizemos foi:

x - 2 = 3 sen ⁡ θ

Então podemos achar o θ :

sen ⁡ θ = x - 2 3

Daí é só jogar o arcosseno que achamos:

θ = asen ⁡ x - 2 3 = sen - 1 ⁡ x - 2 3

Agora pro sen ⁡ 2 θ :

sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Pra achar o cos ⁡ θ :

cos 2 ⁡ θ = 1 - sen 2 ⁡ θ

cos 2 ⁡ θ = 1 - x - 2 3 2

cos ⁡ θ = 1 - x 2 - 4 x + 4 9

cos ⁡ θ = 9 - x 2 + 4 x + 4 9

cos ⁡ θ = 1 3 5 + 4 x - x 2

Então:

sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

= 2 x - 2 3 1 3 5 + 4 x - x 2

Passo 4

Substituindo essas belezinhas no resultado da nossa integral:

= 9 2 θ + 9 4 sen ⁡ 2 θ + C

= 9 2 x - 2 3 + 9 4 2 x - 2 3 1 3 5 + 4 x - x 2 + C

= 9 2 x - 2 3 + 1 2 x - 2 5 + 4 x - x 2 + C

Ufaaa... chegamos na resposta final:

∫ 5 + 4 x - x 2   d x = 9 2 x - 2 3 + 1 2 x - 2 5 + 4 x - x 2 + C

Mas desanima naaaaooo... bora pra próxima questão.

Resposta

∫ 5 + 4 x - x 2   d x = 9 2 x - 2 3 + 1 2 x - 2 5 + 4 x - x 2 + C

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