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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.3 - Ex. 27

Calcule a integral

int sqrt(5 + 4 x - x^2) d x

Passo 1

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral. Agora chega de papinho e vamos la.

Temos que

5 + 4 x - x^2 = - x^2 + 4 x - 4 + 9 = 3^2 - (x - 2)^2

Olhando essa configuração aí que seria algo como “ a^2 - x^2 ” que se faz a substicuição “ x = a sen theta ”, então fazemos a substituição:

x - 2 = 3 sen theta

Diferenciando, temos que

d x = 3 cos theta d theta

Tudo beleza?! Vamos substituir isso na nossa integral

int sqrt(5 + 4 x - x^2) d x = int sqrt(3^2 - (x - 2)^2) d x = int sqrt(3^2 - (3 sen theta)^2) 3 cos theta d theta

= int sqrt(3^2 (1 - sen^2 theta)) 3 cos theta d theta

Ta lembra daquela propriedade trigonométrica: cos^2 theta = 1 - sen^2 theta ?! Vamos usá-la, então, substituindo

int sqrt(3^2 (1 - sen^2 theta)) 3 cos theta d theta = int sqrt(3^2 cos^2 theta) 3 cos theta d theta = int (3 cos theta) (3 cos theta) d theta

= int 9 cos^2 theta d theta

Passo 2

Show... agora precisamos só achar a integral dessa parada aí:

int 9 cos^2 theta d theta = ?

Pra resolver isso a gente usa a definição de arco duplo:

cos^2 theta = (1 + cos 2 theta)/(2)

Ficamos com:

int 9 cos^2 theta d theta = int 9 ((1 + cos 2 theta)/(2)) d theta

E isso a gente sabe resolver, né:

int 9 ((1 + cos 2 theta)/(2)) d theta = (9)/(2) int d theta + (9)/(2) int cos 2 theta d theta =

= (9)/(2) theta + (9)/(2) ((sen 2 theta)/(2)) + C

Passo 3

Agora temos que voltar tudo pra x (a gente que lute...)

Mas a substituição que fizemos foi:

x - 2 = 3 sen theta

Então podemos achar o theta :

sen theta = (x - 2)/(3)

Daí é só jogar o arcosseno que achamos:

theta = asen ((x - 2)/(3)) = sen^(- 1) ((x - 2)/(3))

Agora pro sen 2 theta :

sen 2 theta = 2 sen theta cos theta

Pra achar o cos theta :

cos^2 theta = 1 - sen^2 theta

cos^2 theta = 1 - ((x - 2)/(3))^2

cos theta = sqrt(1 - ((x^2 - 4 x + 4)/(9)))

cos theta = sqrt((9 - x^2 + 4 x + 4)/(9))

cos theta = (1)/(3) sqrt(5 + 4 x - x^2)

Então:

sen 2 theta = 2 sen theta cos theta

= 2 ((x - 2)/(3)) ((1)/(3) sqrt(5 + 4 x - x^2))

Passo 4

Substituindo essas belezinhas no resultado da nossa integral:

= (9)/(2) theta + (9)/(4) sen 2 theta + C

= (9)/(2) ((x - 2)/(3)) + (9)/(4) (2 ((x - 2)/(3)) ((1)/(3) sqrt(5 + 4 x - x^2))) + C

= (9)/(2) ((x - 2)/(3)) + (1)/(2) (x - 2) sqrt(5 + 4 x - x^2) + C

Ufaaa... chegamos na resposta final:

int sqrt(5 + 4 x - x^2) d x = (9)/(2) ((x - 2)/(3)) + (1)/(2) (x - 2) sqrt(5 + 4 x - x^2) + C

Mas desanima naaaaooo... bora pra próxima questão.

Resposta

int sqrt(5 + 4 x - x^2) d x = (9)/(2) ((x - 2)/(3)) + (1)/(2) (x - 2) sqrt(5 + 4 x - x^2) + C

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