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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 44

Calcule a integral indefinida.

∫ x 1 + x 4   d x

Passo 1

Fala aí, pessoal.

Bom, essa questão pede pra gente encontrar a integral indefinida dada por:

∫ x 1 + x 4   d x

E para isso temos que olhar com cuidado a função que estamos integrando.

Precisamos calcular a integral usando algum tipo de substituição. Essa função é parecida com uma daquelas tabeladas que temos. Lembrando que:

∫ 1 1 + u 2 d x = a r c t g   u + C

Mas não é exatamente isso que temos. Então vamos tentar fazer alguma substituição que torne nossa função mais próxima dela.

Passo 2

Vamos lá, nesse exemplo a substituição não é óbvia, por isso vou reescrever a integral:

∫ x 1 + x 4   d x = ∫ x 1 + x 2 2 d x

Assim, a substituição

u = x 2

deve resolver nosso problema!

Então a derivada de u será:

d u = 2 x   d x

Assim, temos que

x   d x = d u 2

e a integral fica

∫ x 1 + x 4   d x = 1 2 ∫ 1 1 + u 2 d u

E como vimos no primeiro passo, essa é uma integral tabelada.

1 2 ∫ 1 1 + u 2 d u = 1 2 a r c t g   u + C

Mas não terminamos.

A integral que estávamos calculando era na variável x e nossa resposta está em u . Sendo assim, precisamos voltar para a variável original.

Passo 3

Lembrando que a derivada do arco tangente é

1 1 + x 2

E voltando a variável original:

∫ x 1 + x 4   d x = 1 2 a r c t g   x 2 + C

Prontinho. Integral calculada.

Resposta

∫ x 1 + x 4   d x = 1 2 a r c t g   x 2 + C

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Se a e b forem número positivos, mostre queint_0^1 x^a (1 - x)^b d x = int_0^1 x^b (1 - x)^a d x
Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável fazendo o gráfico da função e de sua primitiva (tome C = 0 ). ∫ xx 2 - 1 3d x
Se f for contínua em [ 0 , π ] , use a substituição u = π - x para demonstrar que ∫ 0 π xf s e nxd x = π 2∫ 0 π f s e nxd x