Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 92

Se for contínua em , use a substituição para demonstrar que

Passo 1

Opa, esse problema é bem direto! Temos:

E temos que usar a substituição para demonstrar essa igualdade é verdadeira! Ou seja, vamos partir da integral da esquerda e chegar na integral da direita! Repare que não vamos precisar integrar nada, só provar que são iguais!

Como o problema já nos deu o , temos que encontrar , que nada mais é a derivada de em relação a . Além disso temos que alterar os limites de integração, então precisamos avaliar em ambos os limites!

Precisamos, também lembrar de uma propriedade do seno:

Por fim usaremos uma técnica de integral por partes, vamos resumir aqui, quando temos algo do tipo:

Podemos passar a integral para o outro lado da integral (como se ela fosse uma varável:

E soma-las também como uma variável qualquer:

E assim temos o valor para 2 integrais, precisamos do valor de uma só, e como no caso dessa integral ser uma variável qualquer, só passamos o 2 para o outro lado dividindo:

Passo 2

Como temos:

Derivando vamos ter:

Agora vamos calcular os novos limites de integração:

Agora olhando para a nossa integral, notamos que temos multiplicando a função, então temos que também encontrar o valor dele:

Agora substituindo tudo e formando a nossa nova integral:

Lembra da propriedade que o sinal de negativo na integral inverte os limites de integração? Vamos aplica-la bem aqui:

Note que . Assim,

Nessa última integral, podemos fazer uma nova mudança de variável que não afeta em nada a integral com . Assim

Passo 3

Abrindo essa segunda integral:

Usando também a propriedade que a integral da soma é a soma das integrais, podemos separá-las em duas:

Aqui preste atenção, é um truque bem comum no cálculo (integral por partes): note que a mesma integral apareceu novamente, vamos passar ela para o outro lado da igualdade: