Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 92
Se for contínua em , use a substituição para demonstrar que
Passo 1
Opa, esse problema é bem direto! Temos:
E temos que usar a substituição para demonstrar essa igualdade é verdadeira! Ou seja, vamos partir da integral da esquerda e chegar na integral da direita! Repare que não vamos precisar integrar nada, só provar que são iguais!
Como o problema já nos deu o , temos que encontrar , que nada mais é a derivada de em relação a . Além disso temos que alterar os limites de integração, então precisamos avaliar em ambos os limites!
Precisamos, também lembrar de uma propriedade do seno:
Por fim usaremos uma técnica de integral por partes, vamos resumir aqui, quando temos algo do tipo:
Podemos passar a integral para o outro lado da integral (como se ela fosse uma varável:
E soma-las também como uma variável qualquer:
E assim temos o valor para 2 integrais, precisamos do valor de uma só, e como no caso dessa integral ser uma variável qualquer, só passamos o 2 para o outro lado dividindo:
Passo 2
Como temos:
Derivando vamos ter:
Agora vamos calcular os novos limites de integração:
Agora olhando para a nossa integral, notamos que temos multiplicando a função, então temos que também encontrar o valor dele:
Agora substituindo tudo e formando a nossa nova integral:
Lembra da propriedade que o sinal de negativo na integral inverte os limites de integração? Vamos aplica-la bem aqui:
Note que . Assim,
Nessa última integral, podemos fazer uma nova mudança de variável que não afeta em nada a integral com . Assim
Passo 3
Abrindo essa segunda integral:
Usando também a propriedade que a integral da soma é a soma das integrais, podemos separá-las em duas:
Aqui preste atenção, é um truque bem comum no cálculo (integral por partes): note que a mesma integral apareceu novamente, vamos passar ela para o outro lado da igualdade:
Assim podemos somar as integrais:
Por fim, quero o valor de uma apenas, passamos o dividindo:
A conseguimos chegar onde queríamos!
Resposta
Demonstração.