Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 91
Se e forem número positivos, mostre que
Passo 1
Opa! Blz!
O exercício pede para mostramos que trocar por na integral não faz diferença, ou seja:
Desde que e sejam positivos:
Para isso, vamos usar substituição. Mas o que é a integração por substituição?
Lembra que a integral é a operação contraria da primitiva? Então temos que ela deve ser realmente o inverso da regra da cadeia. De acordo com a regra da cadeia para a derivada temos:
Na integração por substituição, pegamos uma expressão da forma e encontramos sua primitiva.
A integração por substituição nos ajuda a simplificar uma expressão confusa, transformando a função "interna" na variável. Então temos que encontrar o resultado dessa integral:
Para simplificar essa integral, colocamos uma nova variável tal que . Isso significa que .
Substituindo essas expressões na integral, obtemos:
A integral agora é muito mais simples de resolver, pois é uma função direta de . Após integrar em relação a , obtemos .
Finalmente, substituímos de volta por para obter a resposta na variável original .
Então nesse exercício, vamos chamar , encontrar a derivada de e montar a nossa integral.
Não vamos precisar de fato resolver a integral, só mostrar que as duas são iguais!
E nesse exercício usaremos a substituição 2 vezes! Na segunda chamaremos , o processo é o mesmo da anterior, calcular a derivada e substituir!
Preparados? Bora lá!
Passo 2
Consideremos a primeira integral da igualdade:
Vamos fazer a substituição:
Derivando:
Agora vamos avaliar os limites de integração, para isso vamos isolar o nosso :
E calcular o valor de para ambos oas limites de integração:
Fazendo a mudança de variáveis, obtemos, note que substituímos todos os s:
Se invertermos os limites, podemos trocar o sinal (isso é uma propriedade das integrais). Assim:
Estamos quase lá, só falta fazer uma nova mudança de variável:
Derivando:
Desta forma:
E assim conseguimos provar que:
Resposta
Demonstração.