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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 45

Calcule a integral indefinida.

∫ 1 + x 1 + x 2 d x

Passo 1

Opa! Tudo certinho por aí 😊?

Precisamos calcular a integral

∫ 1 + x 1 + x 2 d x .

Em um primeiro momento, ela não se parece com nenhuma das presentes na Tabela de Integrais Indefinidas, para as quais conhecemos uma fórmula para o seu cálculo.

Mas, perceba que manipulando o integrando, temos que como

1 + x 1 + x 2 =   1 1 + x 2 + x 1 + x 2 ,

podemos reescrever a integral dada como a soma das seguintes integrais:

∫ 1 + x 1 + x 2 d x = ∫ 1 1 + x 2 d x + ∫ x 1 + x 2 d x .

🤔 Beleza, mas no que isso ajuda a gente?

Pela Tabela de Integrais Indefinidas, temos que

∫ 1 1 + x 2 d x = tan - 1 ⁡ x + C

e

∫ 1 u d u = ln ⁡ | u | + D ,

onde C e D são constantes quaisquer. Observe que já temos uma fórmula para a primeira integral

1 1 + x 2 d x ,

enquanto que para a segunda só precisamos fazer uma mudança de variável u =   1 + x 2 , Com isso, prometo que a integral

∫ x 1 + x 2 d x

também não será tão difícil de calcular, beleza? Não sei se você percebeu, mas o que queremos fazer é usar a Regra da Substituição.

Relembrando a Regra da Substituição:

Se definirmos a função derivável g x como uma variável u , ou seja, u = g ( x ) , e se a função f for contínua em seu domínio I , então vale que

∫ f g x g ' x   d x =   ∫ f u d u ,  

desde que a imagem de g ( x ) esteja contida no domínio I de f .

💡 Vamos precisar de uma propriedade das integrais indefinidas que vai nos ajudar a resolver essa questão.

  • A integral indefinida do produto entre uma constante e uma função é o produto entre a constante e a integral indefinida da função.

∫ c f x d x = c   ∫ f x d x .

Já temos tudo o que precisamos pra resolver essa questão. Bora lá 😉!

Passo 2

Temos que

∫ 1 + x 1 + x 2 d x = ∫ 1 1 + x 2 d x + ∫ x 1 + x 2 d x .

Conforme relembramos no Passo anterior, pela Tabela das Integrais Indefinidas sabemos que

∫ 1 1 + x 2 d x = tan - 1 ⁡ x + C 1 ,

então só precisamos calcular a segunda integral

∫ 1 1 + x 2 x   d x .

Perceba que como

1 + x 2 ' =   2 x

e a função x também aparece no integrando, então uma boa escolha para f e u é dada por

f x = 1 x

e

u = g x = 1 + x 2 ,

pois

f g x = 1 1 + x 2  

e, além disso, derivando u em relação à variável x , temos que

d u d x = g ' x = 2 x ,

ou seja,

d u = 2 x   d x .

Logo, substituindo os respectivos valores, vale que

∫ f g x g ' x   d x =   ∫ 1 1 + x 2   2 x   d x = 2 ∫ 1 1 + x 2   x   d x ,

ou seja,

1 2 ∫ f g x g ' x   d x = ∫ 1 1 + x 2   x   d x .

Sendo assim, pela Regra da Substituição temos que

∫ 1 1 + x 2   x   d x = 1 2 ∫ f u   d u ,

onde

∫ f u �� d u = ∫ 1 u   d u .

Mas observe que essa integral da direita, em função da variável u , nós sabemos calcular né? Como relembramos no Passo 1 , temos que

∫ 1 u d u = ln ⁡ u + C 2 .

Logo,

∫ 1 1 + x 2   x   d x = 1 2 ∫ f u   d u = 1 2 ln ⁡ u + C 2 .

Porém, desfazendo a mudança de variável que fizemos ao assumir u = g x = 1 + x 2 , vamos ter que

∫ 1 1 + x 2   x   d x = 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + C 3 ,

onde C 3 = 1 2 C 2 .

Vamos juntar todas as informações no próximo Passo e resolver a questão.

Passo 3

Como

∫ 1 + x 1 + x 2 d x = ∫ 1 1 + x 2 d x + ∫ x 1 + x 2 d x

e vimos no Passo anterior que valem

∫ 1 1 + x 2 d x = tan - 1 ⁡ x + C 1

e

∫ 1 1 + x 2   x   d x = 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + C 3 ,

então a soma é dada por

∫ 1 1 + x 2 d x + ∫ x 1 + x 2 d x =   tan - 1 ⁡ x + 1 2 ln ⁡ 1 + x 2   + C 4 ,  

onde C 4 = C 1 + C 3 é uma constante qualquer.

Dessa forma, a integral do enunciado é dada por

∫ 1 + x 1 + x 2 d x = tan - 1 ⁡ x + 1 2 ln ⁡ 1 + x 2   + C 4 .

Resposta

A integral é dada por:

∫ 1 + x 1 + x 2 d x = tan - 1 ⁡ x + 1 2 ln ⁡ | 1 + x 2 | + C 4 ,

onde C 4 é uma constante qualquer.

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