Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 45
Calcule a integral indefinida.
Passo 1
Opa! Tudo certinho por aí 😊?
Precisamos calcular a integral
Em um primeiro momento, ela não se parece com nenhuma das presentes na Tabela de Integrais Indefinidas, para as quais conhecemos uma fórmula para o seu cálculo.
Mas, perceba que manipulando o integrando, temos que como
podemos reescrever a integral dada como a soma das seguintes integrais:
🤔 Beleza, mas no que isso ajuda a gente?
Pela Tabela de Integrais Indefinidas, temos que
e
onde e são constantes quaisquer. Observe que já temos uma fórmula para a primeira integral
enquanto que para a segunda só precisamos fazer uma mudança de variável , Com isso, prometo que a integral
também não será tão difícil de calcular, beleza? Não sei se você percebeu, mas o que queremos fazer é usar a Regra da Substituição.
Relembrando a Regra da Substituição:
Se definirmos a função derivável como uma variável , ou seja, , e se a função for contínua em seu domínio então vale que
desde que a imagem de esteja contida no domínio de
💡 Vamos precisar de uma propriedade das integrais indefinidas que vai nos ajudar a resolver essa questão.
- A integral indefinida do produto entre uma constante e uma função é o produto entre a constante e a integral indefinida da função.
Já temos tudo o que precisamos pra resolver essa questão. Bora lá 😉!
Passo 2
Temos que
Conforme relembramos no Passo anterior, pela Tabela das Integrais Indefinidas sabemos que
então só precisamos calcular a segunda integral
Perceba que como
e a função também aparece no integrando, então uma boa escolha para e é dada por
e
pois
e, além disso, derivando em relação à variável , temos que
ou seja,
Logo, substituindo os respectivos valores, vale que
ou seja,
Sendo assim, pela Regra da Substituição temos que
onde
Mas observe que essa integral da direita, em função da variável , nós sabemos calcular né? Como relembramos no Passo temos que
Logo,
Porém, desfazendo a mudança de variável que fizemos ao assumir vamos ter que
onde
Vamos juntar todas as informações no próximo Passo e resolver a questão.
Passo 3
Como
e vimos no Passo anterior que valem
e
então a soma é dada por
onde é uma constante qualquer.
Dessa forma, a integral do enunciado é dada por
Resposta
A integral é dada por:
onde é uma constante qualquer.