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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 10

Calcule a integral indefinida.

int (3 t + 2)^(2,4) d t

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um t , podemos então usar a mudança de variável:

u = 3 t + 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 3 + 0 d t = 3 d t -> d t = (d u)/(3)

Vamos agora fazer a substuição:

int (3 t + 2)^(2,4) d x = int (u^(2,4))/(3) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int (u^(2,4))/(3) d u = (1)/(3) int u^(2,4) d u = (1)/(3) * ((u^(2,4 + 1))/(2,4 + 1)) = (1)/(3) * (u^(3,4))/(3,4) = (u^(3,4))/(10,2) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = 3 t + 2

int (3 t + 2)^(2,4) d t = int (u^(2,4))/(3) d u = (u^(3,4))/(10,2) + C = ((3 t + 2)^(3,4))/(10,2) + C

Resposta

int (3 t + 2)^(2,4) d t = ((3 t + 2)^(3,4))/(10,2) + C

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