Calcule a integral definida

∫ - 3 3 3 + | x |     d x      

Passo 1

Vamos lembrar algumas Propriedades de integral

∫ b a f x   d x     = F a - F b

∫ b a f x + g   x   d x =   ∫ b a f x   d x     +   ∫ b a g x   d x      

  ∫   x n =   x n + 1 n + 1    

Passo 2

Essa é mais uma integral facinha, só Lembra queremos fugir do modulo o máximo que podemos. Então vamos dividir nosso problema em 2. Com a parte para x > 0 e x

Logo :

∫ - 3 3 3 + | x |     d x     =   ∫ - 3 0   3 - x   d x   + ∫ 0 3   3 + x   d x    

Aqui tem mais um passo. Podemos fazer u du e v dv para calcularmos essas raízes. É bem tranquilo para falar a verdade, poderíamos fazer direto. Só temos que ter muito cuidado com sinais.

Então vamos lá pra ninguém se perder

u = 3 - x

d u =   - d x  

v =   3 + x

d v = d x  

Vamos substituir, não precisamos nos preocupar com os limites de integração porque vamos retornar para x depois.

∫ - u   d u +   ∫ v   d v  

- 2 3 u 3 2 + 2 3 v 3 2    

Pronto, já podemos voltar para x, e colocar os limites de interação.

- 2 3 3 - x 3 2 x =   - 3 0 +       2 3 3 + x 3 2 x = 0 3

- 2 3 ( 3 3 2 +   6 3 2 ) + 2 3 ( 6 3 2 - 3 3 2 )  

- 2 3 3 3 + 6 3 + 2 3 6 3 - 3 3

- 2 3 3 3 + 6 6 + 2 3 6 6 - 3 3

- 2 3 - 4 6 + 4 6 - 2 3

- 4 3

Resposta

∫ - 3 3 3 + | x |     d x =   - 4 3  

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