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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.8 - Ex. 24

Calcule a integral definida

int_(- 3)^3 sqrt(3 + | x |) d x

Passo 1

Vamos lembrar algumas Propriedades de integral

int_b^a f (x) d x = F (a) - F (b)

int_b^a f (x) + g (x) d x = int_b^a f (x) d x + int_b^a g (x) d x

int_()^() x^n = (x)/(n + 1)^(n + 1)

Passo 2

Essa é mais uma integral facinha, só Lembra queremos fugir do modulo o máximo que podemos. Então vamos dividir nosso problema em 2. Com a parte para x > 0 e x

Logo :

int_(- 3)^3 sqrt(3 + | x |) d x = int_(- 3)^0 sqrt(3 - x) d x + int_0^3 sqrt(3 + x) d x

Aqui tem mais um passo. Podemos fazer u du e v dv para calcularmos essas raízes. É bem tranquilo para falar a verdade, poderíamos fazer direto. Só temos que ter muito cuidado com sinais.

Então vamos lá pra ninguém se perder

u = 3 - x

d u = - d x

v = 3 + x

d v = d x

Vamos substituir, não precisamos nos preocupar com os limites de integração porque vamos retornar para x depois.

int - sqrt(u) d u + int sqrt(v) d v

- (2)/(3) u^((3)/(2)) + (2)/(3) v^((3)/(2))

Pronto, já podemos voltar para x, e colocar os limites de interação.

- ((2)/(3) (3 - x)^((3)/(2))|_(x = - 3)^0 + ((2)/(3) (3 + x)^((3)/(2))|_(x = 0)^3

- (2)/(3) ( 3^((3)/(2)) + 6^((3)/(2)) ) + (2)/(3) ( 6^((3)/(2)) - 3^((3)/(2)) )

- (2)/(3) (sqrt(3^3) + sqrt(6^3)) + (2)/(3) (sqrt(6^3) - sqrt(3^3))

- (2)/(3) (3 sqrt(3) + 6 sqrt(6)) + (2)/(3) (6 sqrt(6) - 3 sqrt(3))

- 2 sqrt(3) - 4 sqrt(6) + 4 sqrt(6) - 2 sqrt(3)

- 4 sqrt(3)

Resposta

int_(- 3)^3 sqrt(3 + | x |) d x = - 4 sqrt(3)

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