Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 31
Calcule a integral indefinida.
Passo 1
Fala aí, belezinha??
Bom... queremos calcular a seguinte integral indefinida:
Perceba que essa não é uma integração direta, já que temos uma divisão entre duas funções.
Quando isso acontecer, podemos verificar se é possível usar a regra da Substituição Simples. Para isso, vemos se ao derivarmos uma das funções, encontraremos algo semelhante ao que temos na outra função.
E é exatamente o que acontecerá aqui. Sendo assim, fazermos uma mudança de variáveis.
Mas fica tranquilo que vou te mostrar tudinho no passo a passo. Só vem comigo.
Passo 2
Quando vemos uma integral com funções trigonométricas até bate um frio na barriga, né? Porém, aqui não vamos ter medo e sim utilizar uma substituição sagaz para simplificar nosso problema e a gente conseguir resolver de maneira mais simples.
Queremos integrar
Dessa forma, tomemos
Então:
Assim, podemos reescrever nossa integral em função de e ela vai ficar bem mais simples e factível sendo escrita como
Passo 3
Agora vamos achar as primitivas da função, lembrando que:
Então
E resolvendo, teremos:
E para finalizar (sim, já vamos finalizar o problema que parecia ser impossível) basta retornarmos para a variável de origem e teremos
Com isso, teremos:
E prontinho. Integral resolvida.