Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 16

Calcule a integral indefinida.

∫ e - 5 r d r

Passo 1

Faala ai, Rafha do Responde Aí aqui e vou te ajudar a resolver essa questão!

Aqui temos que resolver a seguinte integral:

∫ e - 5 r d r

E a técnica da substituição parece ser uma boa opção...

Sabemos disso, pois se fizermos

u = - 5 r

Temos que a sua derivada será:

u ' = - 5

Que não depende de r . Isso ajuda para no final não termos nada que esteja escrito em termos de r , ficamos apenas com a função escrita em termos da nova variável u .

temos um fator que possui x 2 e a sua derivada que possui x aparece no resto da integral.

Para a técnica da substituição devemos pegar parte do termo que está sendo integrado e chama-lo de u .

Então, devemos encontrar d u derivando u em termos de x .

d u = u ' d x

E portanto teremos que:

d x = d u u '

E dessa forma, substituímos a diferencial de x da integral.

Por fim, basta resolver a integral e desfazer a substituição.

Passo 2

Nossa integral é:

∫ e - 5 r d r

Fazendo a substituição:

u = - 5 r

Temos que a sua diferencial é dada por:

d u = u ' d r

d u = - 5 d r

Portanto,

d r = - d u 5

Fazendo a substituição:

∫ e - 5 r d r = ∫ - e u 5 d u

Podemos tirar a constante da integral:

= - 1 5 ⋅ ∫ e u d u

E a integral da exponencial é ela mesma:

= - e u 5 + C

Para finalizar o exercício, vamos retornar para a variável r de origem e, assim, vamos obter

∫ e - 5 r d r = - e - 5 r 5 + C

Resposta

- e - 5 r 5 + C

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