Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 39
Calcule a integral indefinida.
Passo 1
Fala, pessoal! Tudo belezinha?
Precisamos calcular o valor da integral indefinida
Isso parece uma tarefa complicada, né? Em um primeiro momento, essa integral não se parece com nenhuma das presentes na Tabela de Integrais Indefinidas, para as quais conhecemos uma fórmula para o seu cálculo.
🤔 Então como resolvemos essa questão?
Utilizando a Regra da Substituição para transformar essa integral em uma que sabemos calcular.
A Regra da Substituição diz o seguinte: Se definirmos a função derivável como uma variável , ou seja, , e se a função for contínua em seu domínio então vale que
desde que a imagem de esteja contida no domínio de
🤔 Mas como usamos essa Regra nessa questão?
No próximo Passo, vamos escolher as funções e de maneira conveniente, que nos possibilite usar uma das integrais da Tabela.
💡 Vamos relembrar de uma integral indefinida da tabela que vai nos ajudar a resolver essa questão.
Além disso, precisamos relembrar de algumas regrinhas de derivadas:
- Regra da Cadeia: sejam e funções deriváveis, então
- A derivada da função cosseno
em particular vale que
E falta só uma coisinha para relembrar, juro! Vale a sequinte identidade trigonométrica
Pronto, temos tudo o que precisamos!
Vamos colocar a mão na massa e resolver essa questão 😉.
Passo 2
Perceba que como
e a função também aparece no integrando de
então uma boa escolha para e é dada por
e
pois
e, além disso, derivando em relação à variável , temos que
ou seja,
Logo, substituindo os respectivos valores, vale que
ou seja,
Sendo assim, pela Regra da Substituição temos que a integral do enunciado pode ser reescrita como
onde
Mas observe que essa integral da direita, em função da variável , nós sabemos calcular né? Temos que
onde é uma constante qualquer.
Logo,
ou seja, temos que
onde é uma constante qualquer.
Passo 3
⚠️ Cuidado que ainda não terminamos! A igualdade
não é a resposta final, né? Pois precisamos reverter a mudança de variável que fizemos ao assumir
Fazendo isso, vamos ter que
Note que é sempre positivo, logo podemos tirar o módulo. Isto quer dizer que a integral do enunciado é dada por
Resposta
A integral é dada por:
onde é uma constante qualquer.