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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 18

Calcule a integral indefinida.

int sec 2 theta tg 2 theta d theta

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um theta , podemos então usar a mudança de variável:

u = 2 theta

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 d theta -> d theta = (d u)/(2)

Vamos agora fazer a substuição:

int sec 2 theta tg 2 theta d theta = int (sec u tg u)/(2) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int sec x tg x d x = sec x + C

Agora é só aplicar:

int (sec u tg u)/(2) d u = (1)/(2) int sec u tg u d u = (1)/(2) sec u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = 2 theta :

int sec 2 theta tg 2 theta d theta = int (sec u tg u)/(2) d u = (1)/(2) sec u + C = (1)/(2) sec 2 theta + C

Resposta

int sec 2 theta tg 2 theta d theta = (1)/(2) sec 2 theta + C

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