Calcule a integral indefinida.

∫ sec ⁡ 2 θ tg ⁡ 2 θ   d θ

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   θ , podemos então usar a mudança de variável:

u = 2 θ

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2   d θ → d θ = d u 2

Vamos agora fazer a substuição:

∫ sec ⁡ 2 θ tg ⁡ 2 θ   d θ = ∫ sec ⁡ u tg ⁡ u 2 d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ sec ⁡ x tg ⁡ x d x = sec ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ sec ⁡ u tg ⁡ u 2 d u = 1 2 ∫ sec ⁡ u tg ⁡ u d u = 1 2 sec ⁡ u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = 2 θ :

∫ sec ⁡ 2 θ tg ⁡ 2 θ   d θ = ∫ sec ⁡ u tg ⁡ u 2 d u = 1 2 sec ⁡ u + C = 1 2 sec ⁡ 2 θ + C

Resposta

∫ sec ⁡ 2 θ tg ⁡ 2 θ   d θ = 1 2 sec ⁡ 2 θ + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados