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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 17

Calcule a integral indefinida.

∫ a + b x 2 3 a x + b x 3   d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema queremos calcular a integral dada por

∫ a + b x 2 3 a x + b x 3   d x

Tem ideia de como fazemos isso?

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição

∫ f x d x → ∫ f u d u

Então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   x 3 no denominador e uma função com x 2 no numerador, podemos então usar a mudança de variável:

u = 3 a x + b x 3

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 3 a + 3 b x 2   d x = 3 a + b x 2 d x → a + b x 2 d x = d u 3

Vamos agora fazer a substuição:

∫ a + b x 2 3 a x + b x 3   d x = ∫ 1 3 u d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

A da constante:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

E a da potência:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Resolvendo, primeiro vamos tirar a constante multiplicativa para fora e ajeitando nossa integral, lembre-se que:

1 x = x - 1

Então:

∫ 1 3 u d u = 1 3 ∫ 1 u 1 2 d u = 1 3 ∫ u - 1 2 d u

Calculando a integral...

∫ 1 3 u d u = 1 3 ∙ u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 = 1 3 ∙ u 1 2 1 2 = 2 u 3 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = 3 a x + b x 3 :

∫ a + b x 2 3 a x + b x 3   d x = ∫ 1 3 u d u = 2 u 3 + C

Voltando u = 3 a x + b x 3 :

∫ a + b x 2 3 a x + b x 3   d x = 2 3 a x + b x 3 3 + C

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

∫ a + b x 2 3 a x + b x 3   d x = 2 3 a x + b x 3 3 + C

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