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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 16

Calcule a integral indefinida.

int (x)/(x^2 + 1) d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x^2 no denominador e uma função com x no numerador, podemos então usar a mudança de variável:

u = x^2 + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 x + 0 d x = 2 x d x -> x d x = (d u)/(2)

Vamos agora fazer a substuição:

int (x)/(x^2 + 1) d x = int (1)/(2 u) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int (1)/(2 u) d u = (1)/(2) int (1)/(u) d u = (1)/(2) * ln |u| + C = (ln |u|)/(2) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = x^2 + 1

int (x)/(x^2 + 1) d x = int (1)/(2 u) d u = (ln |u|)/(2) + C = (ln |x^2 + 1|)/(2) + C

Como x^2 + 1 > 0 podemos tirar o módulo:

int (x)/(x^2 + 1) d x = (ln |x^2 + 1|)/(2) + C = (ln (x^2 + 1))/(2) + C

Resposta

int (x)/(x^2 + 1) d x = (ln (x^2 + 1))/(2) + C

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