Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 40
Calcule a integral indefinida.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral indefinida:
Bem... aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa!!
A Regra da Substituição parece uma boa.
Falo isso, pois o termo possui derivada que é igual a e a função seno aparece no restante da integral.
Para a técnica da substituição devemos pegar parte do termo que está sendo integrado e chama-lo de .
Então, devemos encontrar derivando em termos de .
E portanto teremos que:
E dessa forma, substituímos a diferencial de da integral.
Por fim, basta resolver a integral e desfazer a substituição.
Passo 2
Precisamos calcular a integral usando algum tipo de substituição. Se chamarmos todo o denominador de , não acharemos sua derivada na parte de cima multiplicando . Porém, note que se charmarmos de , teremos exatamente sua derivada (com sinal trocado) em cima!!!
Tomando
, segue que
Assim, segue imediatamente que
Fazendo a mudança de variável:
Agora para resolver essa integral você precisa estar ligado que a derivada do arcotangente é:
Ou seja, a integral que temos resulta no Arcotangente:
Passo 3
Voltando a variável original: