11) Encontre a diferencial da função:

(a) y = x^2 \* sen(2x)

(b) y = ln(raiz(1 + t^2))

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema queremos obter as derivadas de

y = x 2 s e n 2 x

y = ln ⁡ 1 + t 2

Parece complicado? 🤔

Perceba que a primeira função é dada por um produto de duas outras funções

y = x 2 s e n 2 x → y = f x g x → f x = x 2 g x = sen ⁡ 2 x

Então para calcular a derivada dessa função temos que aplicar a regra do produto

y ' = f ' · g + f · g '

Agora na segunda função podemos perceber que temos uma função composta

y = ln ⁡ 1 + t 2 → y = f g t → f t = ln ⁡ g t g t = 1 + t 2

Então nesse caso podemos calcular a derivada pela regra da cadeia

y ' = g ' t · f ' g t

Veja só! 😉

Passo 2

Item a:

A diferencial de uma função y = f x é dada por:

y ' = d x 2 d x s e n 2 x + x 2 d s e n 2 x d x

Aplicando a regra da cadeia na derivada de s e n 2 x ...

y ' = d x 2 d x s e n 2 x + x 2 d 2 x d x d s e n 2 x d 2 x

y ' = 2 x sen ⁡ 2 x + 2 x 2 cos ⁡ 2 x

Tranquilo até aqui? 😇

Passo 3

Item b:

Derivando a função y = ln ⁡ 1 + t 2 pela regra da cedeia

y ' = d 1 + t 2 d x · d ln ⁡ 1 + t 2 d 1 + t 2

Aplicando a regra da cadeia na derivada de 1 + t 2

y ' = d 1 + t 2 d x · d 1 + t 2 d 1 + t 2 · d ln ⁡ 1 + t 2 d 1 + t 2

y ' = 2 t 1 2 1 + t 2 1 1 + t 2

Simplificando um pouco mais...

y ' = t 1 + t 2

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 👀

Resposta

(a)   y ' = 2 x sen ⁡ 2 x + 2 x 2 cos ⁡ 2 x

(b) y ' = t 1 + t 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados