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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.10 - Ex. 11

11) Encontre a diferencial da função:

(a) y = x^2 s e n (2 x)

(b) y = ln sqrt(1 + t^2)

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema queremos obter as derivadas de

y = x^2 s e n (2 x)

y = ln sqrt(1 + t^2)

Parece complicado? 🤔

Perceba que a primeira função é dada por um produto de duas outras funções

y = x^2 s e n (2 x) -> y = f (x) g (x) -> {[[f (x) = x^2],[g (x) = sen (2 x)]])

Então para calcular a derivada dessa função temos que aplicar a regra do produto

y^' = f^' * g + f * g^'

Agora na segunda função podemos perceber que temos uma função composta

y = ln sqrt(1 + t^2) -> y = f (g (t)) -> {[[f (t) = ln (g (t))],[g (t) = sqrt(1 + t^2)]])

Então nesse caso podemos calcular a derivada pela regra da cadeia

y^' = g^' (t) * f^' (g (t))

Veja só! 😉

Passo 2

Item a:

A diferencial de uma função y = f (x) é dada por:

y^' = (d (x^2))/(d x) s e n (2 x) + x^2 (d (s e n (2 x)))/(d x)

Aplicando a regra da cadeia na derivada de s e n (2 x) ...

y^' = (d (x^2))/(d x) s e n (2 x) + x^2 (d (2 x))/(d x) (d (s e n (2 x)))/(d (2 x))

y^' = 2 x sen (2 x) + 2 x^2 cos (2 x)

Tranquilo até aqui? 😇

Passo 3

Item b:

Derivando a função y = ln sqrt(1 + t^2) pela regra da cedeia

y^' = (d (sqrt(1 + t^2)))/(d x) * (d (ln sqrt(1 + t^2)))/(d (sqrt(1 + t^2)))

Aplicando a regra da cadeia na derivada de sqrt(1 + t^2)

y^' = (d (1 + t^2))/(d x) * (d (sqrt(1 + t^2)))/(d (1 + t^2)) * (d (ln sqrt(1 + t^2)))/(d (sqrt(1 + t^2)))

y^' = 2 t (1)/(2 sqrt(1 + t^2)) (1)/(sqrt(1 + t^2))

Simplificando um pouco mais...

y^' = (t)/(1 + t^2)

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 👀

Resposta

(a) y^' = 2 x sen (2 x) + 2 x^2 cos (2 x)

(b) y^' = (t)/(1 + t^2)

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