Calcule a integral indefinida

∫ cosh ⁡ t d t senh ⁡ t

Passo 1

Temos uma integral indefinida, então precisamos buscar uma primitiva para ela, ok? Essa integral será resolvida por substituição.

Devemos observar que temos senh ⁡ t , na raiz do denominador e no numerador cosh ⁡ t , que é justamente a derivada do senh ⁡ t .

Passo 2

Faremos a substituição u = senh ⁡ t e derivando temos d u = cosh ⁡ t d t .

Passo 3

Neste passo, nós trocamos a variável da integral transformando em uma integral na variável u .

∫ cosh ⁡ t d t senh ⁡ t = ∫ d u u = ∫ u - 1 2 d u

Prontinho! Agora temos uma integral totalmente em u , e ainda por cima é uma integral imediata.

Passo 4

Agora resolveremos essa com a fórmula da integral de um polinômio.

∫ u n d u = u n + 1 n + 1 ,   n ≠ - 1

Para n = - 1 2 temos:

∫ u - 1 2 d u = u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + C = u 1 2 1 2 + C = 2 u + C

Passo 5

O último passo é voltar na variável original t , como o problema deu uma integral indefinida na variável t , nós devemos dar a resposta nessa variável também. Temos que:

∫ cosh ⁡ t d t senh ⁡ t = 2 u + C

Em que u = senh ⁡ t , logo:

∫ cosh ⁡ t d t senh ⁡ t = 2 senh ⁡ t + C

Pronto.

Resposta

∫ cosh ⁡ t d t senh ⁡ t = 2 senh ⁡ t + C

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