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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 28

Calcule a integral indefinida

int (cosh t d t)/(sqrt(senh t))

Passo 1

Temos uma integral indefinida, então precisamos buscar uma primitiva para ela, ok? Essa integral será resolvida por substituição.

Devemos observar que temos senh t , na raiz do denominador e no numerador cosh t , que é justamente a derivada do senh t .

Passo 2

Faremos a substituição u = senh t e derivando temos d u = cosh t d t .

Passo 3

Neste passo, nós trocamos a variável da integral transformando em uma integral na variável u .

int (cosh t d t)/(sqrt(senh t)) = int (d u)/(sqrt(u)) = int u^(- (1)/(2)) d u

Prontinho! Agora temos uma integral totalmente em u , e ainda por cima é uma integral imediata.

Passo 4

Agora resolveremos essa com a fórmula da integral de um polinômio.

int u^n d u = (u^(n + 1))/(n + 1) , n != - 1

Para n = - (1)/(2) temos:

int u^(- (1)/(2)) d u = (u^(- (1)/(2) + 1))/(- (1)/(2) + 1) + C = (u^((1)/(2)))/((1)/(2)) + C = 2 sqrt(u) + C

Passo 5

O último passo é voltar na variável original t , como o problema deu uma integral indefinida na variável t , nós devemos dar a resposta nessa variável também. Temos que:

int (cosh t d t)/(sqrt(senh t)) = 2 sqrt(u) + C

Em que u = senh t , logo:

int (cosh t d t)/(sqrt(senh t)) = 2 sqrt(senh t) + C

Pronto.

Resposta

int (cosh t d t)/(sqrt(senh t)) = 2 sqrt(senh t) + C

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