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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.2 - Ex. 17

Calcule a integral indefinida:

int (cos^3 3 x)/(root(3)(sen 3 x)) d x

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos uma divisão de potências de seno e cosseno. Para resolver, nós vamos efetuar primeiro uma manipulação utilizando a identidade trigonométrica cos^2 u = 1 - sen^2 u .

int (cos^3 3 x)/(root(3)(sen 3 x)) d x = int (cos^2 3 x * cos 3 x)/(root(3)(sen 3 x)) d x = int (( 1 - sen^2 3 x ) cos 3 x)/(root(3)(sen 3 x)) d x

Agora temos várias expressões de sen 3 x e cos 3 x d x . Isso indica uma substituição.

Passo 2

Faremos então a substituição:

u = sen 3 x

E derivando temos:

d u = 3 cos 3 x d x -> (d u)/(3) = cos 3 x d x

Perfeito! Apareceu justamente o que temos no numerador.

Passo 3

Agora nós trocamos a variável da integral e resolvemos.

int (( 1 - sen^2 3 x ) cos 3 x)/(root(3)(sen 3 x)) d x = int ((1 - u^2))/(u^((1)/(3))) ((d u)/(3))

= (1)/(3) int ((1 - u^2) d u)/(u^((1)/(3))) = (1)/(3) int (1 - u^2)/(u^((1)/(3))) d u = (1)/(3) int u^(- (1)/(3)) (1 - u^2) d u

= (1)/(3) int (u^(- (1)/(3)) - u^(- (1)/(3) + 2)) d u = (1)/(3) int (u^(- (1)/(3)) - u^((5)/(3))) d u

Vamos utilizar agora a integral de um polinômio:

int u^n d u = (u^(n + 1))/(n + 1) + C n != - 1

Ficamos então com:

(1)/(3) int (u^(- (1)/(3)) - u^((5)/(3))) d u = (1)/(3) ((u^(- (1)/(3) + 1))/(- (1)/(3) + 1) - (u^((5)/(3) + 1))/((5)/(3) + 1)) + C = (1)/(3) ((u^((2)/(3)))/((2)/(3)) - (u^((8)/(3)))/((8)/(3))) + C

(1)/(3) int (u^(- (1)/(3)) - u^((5)/(3))) d u = ((u^((2)/(3)))/(2) - (u^((8)/(3)))/(8)) + C

Passo 4

Agora devemos voltar na variável x . Lembrando que a integral definida foi dada na variável x , então devemos dar a resposta nessa variável também. Sendo assim,

int (cos^3 3 x)/(root(3)(sen 3 x)) d x = ((u^((2)/(3)))/(2) - (u^((8)/(3)))/(8)) + C

Com u = sen 3 x , temos:

int (cos^3 3 x)/(root(3)(sen 3 x)) d x = ((( sen 3 x )^((2)/(3)))/(2) - (( sen 3 x )^((8)/(3)))/(8)) + C

Não se esqueça da constante.

Resposta

int (cos^3 3 x)/(root(3)(sen 3 x)) d x = ((( sen 3 x )^((2)/(3)))/(2) - (( sen 3 x )^((8)/(3)))/(8)) + C

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