Calcule a integral indefinida.

∫ s e n   x   s e n   3 x   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida. Para resolver essa integral vamos usar um pouco de trigonometria. Você deve lembrar daquele belo poema: “Minha terra tem palmeiras, onde canta o sabiá”... Vamos precisar de algumas daquelas fórmulas:

cos ⁡ ( a + b ) = cos ⁡ a cos ⁡ b - s e n   a   s e n   b

cos ⁡ ( a - b ) = cos ⁡ a cos ⁡ b + s e n   a   s e n   b

Subtraindo a segunda equação pela primeira:

cos ⁡ ( a - b ) - cos ⁡ a + b = 2   s e n   a   s e n   b

Assim,

s e n   a   s e n   b = cos ⁡ ( a - b ) - cos ⁡ a + b 2

Essa é a fórmula que vamos precisar usar! Fazendo a = 3 x e b = x :

s e n   x   s e n   3 x = cos ⁡ 2 x - cos ⁡ 4 x 2

Portanto,

I = ∫ s e n   x   s e n   3 x   d x = 1 2 ∫ cos ⁡ 2 x - cos ⁡ 4 x   d x

Essa integral sabemos fazer (ebaaaaaa)!

Passo 2

Efetuando a integração:

I = 1 2 1 2 s e n   2 x - 1 4 s e n   4 x + C

Logo,

I = 1 4 s e n   2 x - 1 8 s e n   4 x + C

Resposta

1 4 s e n   2 x - 1 8 s e n   4 x + C

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