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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 11

Calcule a integral indefinida.

int s e n x s e n 3 x d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida. Para resolver essa integral vamos usar um pouco de trigonometria. Você deve lembrar daquele belo poema: “Minha terra tem palmeiras, onde canta o sabiá”... Vamos precisar de algumas daquelas fórmulas:

cos ( a + b ) = cos a cos b - s e n a s e n b

cos ( a - b ) = cos a cos b + s e n a s e n b

Subtraindo a segunda equação pela primeira:

cos ( a - b ) - cos (a + b) = 2 s e n a s e n b

Assim,

s e n a s e n b = (cos ( a - b ) - cos (a + b))/(2)

Essa é a fórmula que vamos precisar usar! Fazendo a = 3 x e b = x :

s e n x s e n 3 x = (cos 2 x - cos 4 x)/(2)

Portanto,

I = int s e n x s e n 3 x d x = (1)/(2) int (cos 2 x - cos 4 x) d x

Essa integral sabemos fazer (ebaaaaaa)!

Passo 2

Efetuando a integração:

I = (1)/(2) ((1)/(2) s e n 2 x - (1)/(4) s e n 4 x) + C

Logo,

I = (1)/(4) s e n 2 x - (1)/(8) s e n 4 x + C

Resposta

(1)/(4) s e n 2 x - (1)/(8) s e n 4 x + C

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