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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.8 - Ex. 18

Calcule a integral definida e expresse a resposta em termos de um logaritmo natural.

∫ - 4 - 3 1 1 - x 2   d x

Passo 1

O exercício pede para calcularmos a integral definida e expressar a resposta em termos de um logaritmo natural. Note que essa é uma clássica integral que pode ser resolvida usando frações parciais. Todavia, a ideia do capítulo é que você use fórmulas prontas para calcular as integrais. Essas fórmulas prontas estão no teorema 9.8.4 desta seção do livro.

Neste caso, vamos usar a fórmula

∫ 1 a 2 - u 2   d u = 1 2 a ln ⁡ a + u a - u + C

Passo 2

Usando a fórmula com a = 1 :

I = ∫ - 4 - 3 1 1 - x 2   d x = 1 2 ln ⁡ 1 + x 1 - x - 4 - 3

Logo,

I = 1 2 ln ⁡ - 2 4 - ln ⁡ - 3 5 = 1 2 ln ⁡ 1 2 ⋅ 5 3 = 1 2 ln ⁡ 5 6

Portanto,

I = ln ⁡ 5 6

Resposta

ln ⁡ 5 6

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Calcule a integral. ∫ cos ⁡ θ cos 5 ⁡ ( s e nθ )d θ
Calcule a integral. ∫ cos 5 ⁡ α s e nαd α
Calcule a integral. ∫ 0 π 2 sec 4 ⁡ t 2d t
Calcule a integral ∫ tan 3 ⁡ x s e c ⁡ ( x )d x
Calcule a integral ∫ 0 π 4 sec 4 ⁡ ( θ ) tan 4 ⁡ ( θ ) d θ