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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.8 - Ex. 6

Expresse a integral indefinida em termos de uma função hiperbólica inversa e como um logaritmo natural.

∫ 1 4 e x - e - x   d x

Passo 1

A questão pede para expressarmos a integral em termos de funções hiperbólicas. Note que não é pedido para calcularmos a integral, devemos apenas expressar o resultado em termos das funções hiperbólicas. Para isso, você precisa dar uma olhada no teorema 9.8.4.

Neste caso, temos

I = ∫ 1 4 e x - e - x   d x

Se olharmos no teorema 9.8.4 vamos encontrar a fórmula

∫ 1 a 2 - u 2   d u = 1 a tanh - 1 ⁡ u a + C ,         s e   u < a 1 a c o t a n h - 1 u a + C ,         s e   u > a   = 1 2 a ln ⁡ a + u a - u + C

Você deve estar se pergunta: como eu vou essa fórmula se tem umas exponenciais na integral? Vamos com calma que chegarem lá!

Multiplicando tanto o numerador como o denominador por e x , temos que

I = ∫ e x 4 e x 2 - 1   d x

Assim, fazendo t = e x , temos que d t = e x d x . Portanto,

I = ∫ 1 4 t 2 - 1 d t = - ∫ 1 1 - 2 t 2   d t

Por fim, fazendo u = 2 t , temos que

I = - 1 2 ∫ 1 1 - u 2   d u

Passo 2

Agora sim podemos usar a fórmula do teorema 9.8.4 com a = 1 :

I = - 1 2 tanh - 1 ⁡ u + C ,         s e   u < 1 - 1 2 c o t a n h - 1 u + C ,         s e   u > 1   = - 1 4 ln ⁡ 1 + u 1 - u + C

Para terminar, u = 2 t = 2 e x , de modo que

I = - 1 2 tanh - 1 ⁡ 2 e x + C ,         s e   e x < 1 2 - 1 2 c o t a n h - 1 2 e x + C ,         s e   e x > 1 2   = - 1 4 ln ⁡ 1 + 2 e x 1 - 2 e x + C

Resposta

- 1 2 tanh - 1 ⁡ 2 e x + C ,         s e   e x < 1 2 - 1 2 c o t a n h - 1 2 e x + C ,         s e   e x > 1 2   = - 1 4 ln ⁡ 1 + 2 e x 1 - 2 e x + C

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