Enunciado

Calcule a integral definida e expresse a resposta em termos de um logaritmo natural.

∫ - 2 2 1 16 + x 2   d x

Passo 1

O exercício pede para calcularmos a integral definida e expressar a resposta em termos de um logaritmo natural. Note que essa é uma clássica integral que pode ser resolvida usando alguma substituição trigonométrica como x = 4 tan ⁡ θ . Todavia, a ideia do capítulo é que você use fórmulas prontas para calcular as integrais. Essas fórmulas prontas estão no teorema 9.8.4 desta seção do livro.

No teorema 9.8.4 temos a fórmula

∫ 1 u 2 + a 2   d u = ln ⁡ u + u 2 + a 2 + C

Neste problema vamos usar essa fórmula com a = 4 .

Além disso, note que o integrando é uma função par e o intervalo é simétrico, então podemos escrever

I = ∫ - 2 2 1 16 + x 2   d x = 2 ∫ 0 2 1 16 + x 2   d x

Passo 2

Usando a fórmula mostrada no passo 1:

I = 2 ∫ 0 2 1 16 + x 2   d x = 2 ln ⁡ u + u 2 + 16 0 2

Assim,

I = 2   ln ⁡ 2 + 20 - ln ⁡ 0 + 16 = 2 ln ⁡ 2 + 2 5 4

Portanto,

I = 2 ln ⁡ 1 + 5 2 = ln ⁡ 1 + 5 2 4 = ln ⁡ 6 + 2 5 4 = ln ⁡ 3 + 5 2

Usei a propriedade dos logaritmos: a ln ⁡ b = ln ⁡ b a .

Resposta

ln ⁡ 3 + 5 2

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