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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.8 - Ex. 8

Expresse a integral indefinida em termos de uma função hiperbólica inversa e como um logaritmo natural.

∫ 1 x 2 - 4 x + 1   d x

Passo 1

A questão pede para expressarmos a integral em termos de funções hiperbólicas. Note que não é pedido para calcularmos a integral, devemos apenas expressar o resultado em termos das funções hiperbólicas. Para isso, você precisa dar uma olhada no teorema 9.8.4.

Neste caso, temos

I = ∫ 1 x 2 - 4 x + 1   d x

Note que

x 2 - 4 x + 1 = x 2 - 4 x + 4 - 4 + 1 = x - 2 2 - 3

Assim,

I = ∫ 1 x - 2 2 - 3   d x

Fazendo a substituição u = x - 2 :

I = ∫ 1 u 2 - 3   d u

Passo 2

Note que essa é exatamente uma das integrais do teorema 9.8.4:

∫ 1 u 2 - a 2   d u = cosh - 1 ⁡ u a + C = ln ⁡ u + u 2 - a 2 + C

Usando a = 3 :

I = cosh - 1 ⁡ u 3 + C = ln ⁡ u + u 2 - 3 + C

Lembrando que u = x - 2 , temos que

I = cosh - 1 ⁡ x - 2 3 + C = ln ⁡ x - 2 + x 2 - 4 x + 1 + C

Resposta

cosh - 1 ⁡ x - 2 3 + C = ln ⁡ x - 2 + x 2 - 4 x + 1 + C

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