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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.8 - Ex. 17

Calcule a integral definida e expresse a resposta em termos de um logaritmo natural.

∫ 3 5 1 x 2 - 4   d x

Passo 1

O exercício pede para calcularmos a integral definida e expressar a resposta em termos de um logaritmo natural. Note que essa é uma clássica integral que pode ser resolvida com uma substituição trigonométrica do tipo x = 2 sec ⁡ θ . Todavia, a ideia do capítulo é que você use fórmulas prontas para calcular as integrais. Essas fórmulas prontas estão no teorema 9.8.4 desta seção do livro.

Neste caso, vamos usar a fórmula

∫ 1 u 2 - a 2   d u = ln ⁡ u + u 2 - a 2 + C

Passo 2

Usando a fórmula com a = 2 :

I = ∫ 3 5 1 x 2 - 4   d x = ln ⁡ x + x 2 - 4 3 5

Assim,

I = ln ⁡ 5 + 21 - ln ⁡ 3 + 5 = ln ⁡ 5 + 21 3 + 5

Resposta

ln ⁡ 5 + 21 3 + 5

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