Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 23

Calcule a integral indefinida

int tgh^2 3 x d x

Passo 1

Temos uma integral indefinida, então precisamos buscar uma primitiva para ela, ok? O primeiro passo para essa integral é usar a relação:

tgh^2 3 x = 1 - sech^2 3 x

Ficando com:

int tgh^2 3 x d x = int (1 - sech^2 3 x) d x = int 1 d x - int sech^2 3 x d x

E agora podemos resolver.

Passo 2

Calculemos então a integral:

int sech^2 ( 3 x ) d x

Aqui faremos uma substituição no argumento da função hiperbólica, chamando u = 3 x e derivando, temos d u = 3 d x .

Vamos dividir essa expressão por 3 para deixar o d x sozinho:

(d u)/(3) = d x

Sendo assim, podemos trocar a variável da integral e obter uma mais simples

int sech^2 ( 3 x ) d x = int sech^2 u ((d u)/(3)) = (1)/(3) int sech^2 u d u

Passo 3

A integral em u é imediata, pessoal! Temos que ( tgh u ) ' = sech^2 u .

Assim,

int sech^2 ( 3 x ) d x = (1)/(3) int sech^2 u d u = (1)/(3) tgh^2 u + C

Agora, basta voltar na variável inicial x , pois u = 3 x .

int sech^2 ( 3 x ) d x = (1)/(3) tgh^2 3 x + C

Passo 4

Agora vamos substituir o resultado na integral do problema.

int tgh^2 3 x d x = int 1 d x - int sech^2 3 x d x = x - (1)/(3) tgh^2 3 x + C

Não se esqueça da constante, hein.

Resposta

int tgh^2 3 x d x = x - (1)/(3) tgh^2 3 x + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

82. Outra prova do teorema do cálculo.c. Do item ( b ) e da definição da integral definida, mostre que: F b - F a = ∫ a b f x d x
82. Outra prova do teorema do cálculo.b. Aplique o teorema do valor médio para cada termo para mostrar que F x i - F x i - 1 = f c i x i - x i - 1 para um valor de c i no intervalo ( x i - 1 ,x i ) .
82. Outra prova do teorema do cálculo.a. Seja a = x 0x 1x 2 …x n = b qualquer partição de [ a ,b ] e F qualquer primitiva de f . Demonstre que: F b - F a = ∑ i = 1 n F x i - F x i - 1
83. Suponha que f seja a função derivável mostrada no gráfico a seguir e que a posição no instante t (segundos) de uma partícula que se desloca ao longo de um eixo coordenado seja s = ∫ 0 t f ( x ) d
Existe a possibilidade de x ln ⁡ 2 ser igual a 2 ln ⁡ x para x0 ? Trace as duas funções e descreva o que você observa.