Ache dy / dx por derivação implícita: tan^(-1)(x + 3y) = ln(y)

Passo 1

Pessoal, o primeiro passo nesse tipo de questão é tomar a derivada de ambos os lados da seguinte forma:

d d x t a n - 1 ( x + 3 y ) = d d x ( ln ⁡ y )

A dica que eu dou aqui é trocar y por f ( x ) que aí você vai perceber o que pode derivar direto e o que não pode, no caso de ter f ( x ) , você não vai poder mexer, certo? Você não sabe que função é essa! Então ficaria o seguinte:

d d x t a n - 1 ( x + 3 f ( x ) ) = d d x ( ln ⁡ f ( x ) )

Passo 2

Agora eu vou derivar uma parcela de cada vez. Primeiro d d x t a n - 1 ( x + 3 f ( x ) ) , precisamos saber que:

tan - 1 ⁡ u ' = u ' u 2 + 1

No nosso caso, u = x + 3 f ( x ) . Então vamos ficar com:

tan - 1 ⁡ x + 3 f x ' = ( x + 3 f ( x ) ) ' ( x + 3 f ( x ) ) 2 + 1

Precisamos da derivada de x + 3 f ( x ) . E agora? O mais importante agora é percebemos que uma soma de funções, então basta derivar cada parcela.

x + 3 f x ' = 1 + 3 f ' ( x )

Prontinho! Agora substituímos em tan - 1 ⁡ x + 3 f x ' .

tan - 1 ⁡ x + 3 f x ' = ( x + 3 f ( x ) ) ' ( x + 3 f ( x ) ) 2 + 1 = 1 + 3 f ' ( x ) ( x + 3 f ( x ) ) 2 + 1

d d x t a n - 1 ( x + 3 f ( x ) ) = 1 + 3 f ' ( x ) ( x + 3 f ( x ) ) 2 + 1

Paramos aqui por enquanto.

Passo 3

Agora eu vou pegar d d x ( ln ⁡ f ( x ) ) , precisamos saber a derivada ( ln ⁡ u ) ' = u ' u e, no nosso caso, u = f ( x ) .

d d x ( ln ⁡ f ( x ) ) = f ' ( x ) f ( x )

Ok! Perceba que não temos o que fazer, pois não conhecemos f . Vamos para o próximo passo.

Passo 4

Agora vamos substituir as derivadas do passo 2 e 3, em d d x t a n - 1 ( x + 3 f ( x ) ) = d d x ( ln ⁡ f ( x ) ) .

1 + 3 f ' ( x ) ( x + 3 f ( x ) ) 2 + 1 = f ' ( x ) f ( x )

Só falta agora trocar f ( x ) por y de novo e onde está f ’ ( x ) eu vou colocar d y d x .

1 + 3 y ' ( x + 3 y ) 2 + 1 = y ' y

Passo 5

O último passo é deixar d y d x isolado.

1 + 3 d y d x ( x + 3 y ) 2 + 1 = d y d x y

y 1 + 3 d y d x = d y d x ( ( x + 3 y ) 2 + 1 )

y + 3 y d y d x = d y d x ( ( x + 3 y ) 2 + 1 )

y = d y d x x + 3 y 2 + 1 - 3 y d y d x

y = d y d x ( x + 3 y 2 + 1 - 3 y )

d y d x = y x + 3 y 2 + 1 - 3 y = y x 2 + 6 x y + 9 y 2 - 3 y + 1

Prontinho! Procedimento padrão de derivação implícita. Fechamos a questão.

Resposta

d y d x = y x 2 + 6 x y + 9 y 2 - 3 y + 1

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