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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 20

Ache (d y)/(d x) por derivação implícita: tan^(- 1) (x + 3 y) = ln y

Passo 1

Pessoal, o primeiro passo nesse tipo de questão é tomar a derivada de ambos os lados da seguinte forma:

(d)/(d x) (t a n^(- 1) ( x + 3 y )) = (d)/(d x) ( ln y )

A dica que eu dou aqui é trocar y por f ( x ) que aí você vai perceber o que pode derivar direto e o que não pode, no caso de ter f ( x ) , você não vai poder mexer, certo? Você não sabe que função é essa! Então ficaria o seguinte:

(d)/(d x) (t a n^(- 1) ( x + 3 f ( x ) )) = (d)/(d x) ( ln f ( x ) )

Passo 2

Agora eu vou derivar uma parcela de cada vez. Primeiro (d)/(d x) (t a n^(- 1) ( x + 3 f ( x ) )) , precisamos saber que:

(tan^(- 1) u) ' = (u ')/(u^2 + 1)

No nosso caso, u = x + 3 f ( x ) . Então vamos ficar com:

(tan^(- 1) (x + 3 f (x))) ' = (( x + 3 f ( x ) ) ')/(( x + 3 f ( x ) )^2 + 1)

Precisamos da derivada de x + 3 f ( x ) . E agora? O mais importante agora é percebemos que uma soma de funções, então basta derivar cada parcela.

(x + 3 f (x)) ' = 1 + 3 f ' ( x )

Prontinho! Agora substituímos em (tan^(- 1) (x + 3 f (x))) ' .

(tan^(- 1) (x + 3 f (x))) ' = (( x + 3 f ( x ) ) ')/(( x + 3 f ( x ) )^2 + 1) = (1 + 3 f ' ( x ))/(( x + 3 f ( x ) )^2 + 1)

(d)/(d x) (t a n^(- 1) ( x + 3 f ( x ) )) = (1 + 3 f ' ( x ))/(( x + 3 f ( x ) )^2 + 1)

Paramos aqui por enquanto.

Passo 3

Agora eu vou pegar (d)/(d x) ( ln f ( x ) ) , precisamos saber a derivada ( ln u ) ' = (u ')/(u) e, no nosso caso, u = f ( x ) .

(d)/(d x) ( ln f ( x ) ) = (f ' ( x ))/(f ( x ))

Ok! Perceba que não temos o que fazer, pois não conhecemos f . Vamos para o próximo passo.

Passo 4

Agora vamos substituir as derivadas do passo 2 e 3, em (d)/(d x) (t a n^(- 1) ( x + 3 f ( x ) )) = (d)/(d x) ( ln f ( x ) ) .

(1 + 3 f ' ( x ))/(( x + 3 f ( x ) )^2 + 1) = (f ' ( x ))/(f ( x ))

Só falta agora trocar f ( x ) por y de novo e onde está f ’ ( x ) eu vou colocar (d y)/(d x) .

(1 + 3 y ')/(( x + 3 y )^2 + 1) = (y ')/(y)

Passo 5

O último passo é deixar (d y)/(d x) isolado.

(1 + 3 ((d y)/(d x)))/(( x + 3 y )^2 + 1) = (((d y)/(d x)))/(y)

y (1 + 3 ((d y)/(d x))) = ((d y)/(d x)) ( ( x + 3 y )^2 + 1 )

y + 3 y ((d y)/(d x)) = ((d y)/(d x)) ( ( x + 3 y )^2 + 1 )

y = ((d y)/(d x)) ((x + 3 y)^2 + 1) - 3 y ((d y)/(d x))

y = ((d y)/(d x)) ( (x + 3 y)^2 + 1 - 3 y )

(d y)/(d x) = (y)/((x + 3 y)^2 + 1 - 3 y) = (y)/(x^2 + 6 x y + 9 y^2 - 3 y + 1)

Prontinho! Procedimento padrão de derivação implícita. Fechamos a questão.

Resposta

(d y)/(d x) = (y)/(x^2 + 6 x y + 9 y^2 - 3 y + 1)

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