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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 82a

82. Outra prova do teorema do cálculo.

a. Seja a = x 0 < x 1 < x 2 … < x n = b qualquer partição de [ a ,   b ] e F qualquer primitiva de f . Demonstre que:

F b - F a = ∑ i = 1 n F x i - F x i - 1

Passo 1

Então galera, se assumirmos essa igualdade como válida mesmo, podemos escrever essa somatória do primeiro termo do intervalo até o último termo do intervalo. No entanto, algo importante de ser destacado aqui é que devemos fazer de termo a termo, ou seja, para a primeira somatória, o intervalo será de 1   a   2 , para a segunda somatória, o intervalo será de 2   a   3 e assim por diante... Tá parecendo complicado? Vamos começar a fazer para você ver que não é um bicho de 7 cabeças, olha só:

∑ i = 1 n F x i - F x i - 1

De x 0   a   x 1 , teremos:

∑ i = 1 n F x i - F x i - 1 = F x 1 - F x 0

De x 1   a   x 2 , teremos:

∑ i = 1 n F x i - F x i - 1 = [ F x 2 - F x 1 ]

De x 2   a   x 3 , teremos:

∑ i = 1 n F x i - F x i - 1 = [ F x 3 - F x 2 ]

⋮

Até o enésimo termo, teremos:

∑ i = 1 n F x i - F x i - 1 = F x n - 1 - F x n - 2

∑ i = 1 n F x i - F x i - 1 = F x n - F x n - 1

Passo 2

Tudo bem, agora que escrevemos os resultados das somatórias separadamente, devemos soma-las, uma vez que todas elas fazem parte de uma mesma somatória, não é mesmo? O que mudou foram apenas os intervalos! Sendo assim, teremos:

F x 1 - F x 0 + F x 2 - F x 1 + F x 3 - F x 2 + … + F x n - 1 - F x n - 2

+ F x n - F x n - 1

O resultado dessa soma será:

- F x 0 + F x n

E como x 0 = a e x n = b , portanto:

∑ i = 1 n F x i - F x i - 1 = F b - F ( a )

C.Q.D.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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