Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 82b
82. Outra prova do teorema do cálculo.
b. Aplique o teorema do valor médio para cada termo para mostrar que para um valor de no intervalo . Demonstre que é uma soma de Riemann para em .
Passo 1
Então galera, segundo o enunciado, temos o seguinte:
De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, sabemos que a derivada da primitiva é igual a função do integrando, ou seja:
Sendo assim, outra forma de escrever a expressão inicial é:
Ademais, não se trata de uma variação finita? Então podemos escrever a expressão da seguinte forma:
Passo 2
Se você se lembra, da letra a) provamos a seguinte igualdade:
Se aplicarmos a somatória nos dois lados da expressão que escrevemos no passo anterior, teremos:
Aqui vale ressaltar que o membro do lado direito da igualdade é exatamente a Soma de Riemann, na qual queríamos chegar, beleza?
C.Q.D.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)