Calcule a integral e interprete-a como uma diferença de áreas. Ilustre com um esboço

∫ - 1 2 x 3 d x  

Passo 1

Falaee, belezinha??? Bom... queremos calcular a seguinte integral:

∫ - 1 2 x 3 d x  

Em seguida devemos interpretá-la como uma diferença de áreas e ilustrar com um esboço.

Para isso, é interessante sabermos da Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo, para exemplificar imagine que você está em uma montanha-russa representando a função contínua f ( x ) . Conforme você viaja da posição a até b , uma função F ( x ) (que é a primitiva de f ( x ) ) conhece a altura da montanha-russa em qualquer ponto.

O Teorema Fundamental do Cálculo diz que a área total coberta nessa viagem, ou seja, a integral de f ( x ) de a até b , é simplesmente a diferença entre a altura final e a inicial.

Em outras palavras, a integral da função é a diferença das alturas nas extremidades do intervalo, tornando os cálculos muito mais simples! Dessa forma temos:

Se f for contínua em a , b (como uma montanha russa, que não pode ter saltos e quinas) então:

∫ a b f x d x = F b - F a

Onde F é qualquer primitiva de f , isto é, uma função tal que F ' = f .

Também usaremos a seguinte tabela:

Onde usaremos a primitiva do polinômio:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora estamos que prontos bora aplicar!! 😉

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral analiticamente, pra isso, é só integrarmos a função do mesmo jeito que a gente integra x n .

Então, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, temos:

∫ - 1 2 x 3 d x   = x 4 4 - 1 2

Avaliando os limites da integração:

= 2 4 4 - - 1 4 4

= 16 4 - 1 4

= 15 4

Passo 3

Agora, podemos interpretar o resultado obtido da seguinte maneira

Em outras palavras, a integral que encontramos no Passo 2 nada mais é do que a soma dessas duas áreas aí de cima.

Mas perceba que uma está no lado negativo. Assim, o valor da integral pode ser entendido como a área da região positiva menos a área da região negativa!!

Entendeu direitinho?? Responde aee😉

Resposta

∫ - 1 2 x 3 d x   = 15 4

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