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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 32

Calcule a integral

int tan^2 (x) s e c ( x ) d x

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral.

Uma forma de facilitar a resolução de integrais trigonométricas é utilizar das identidades trigonométricas.

A gente precisa lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: tan^2 ( x ) + 1 = sec^2 ( x )

Então, vamos fazer o seguinte,

int tan^2 (x) s e c ( x ) d x = int ( sec^2 (x) - 1 ) s e c ( x ) d x

= int (sec^3 (x) - sec (x)) d x

Vamos separar esta integral em duas, daí

int (sec^3 (x) - sec (x)) d x = int sec^3 (x) d x - int s e c (x) d x

Passo 2

Vamos calcular separadamente cada integral.

Calculando a primeira pela integração por partes

int sec^3 (x) d x

Seja u = s e c ( x ) temos que d u = sec (x) tan (x) d x

Seja d v = sec^2 ( x ) d x , temos que v = t a n ( x )

int u d v = u v - int v d u

int sec^3 (x) d x = sec (x) tan (x) - int tan^2 (x) s e c (x) d x

= sec (x) tan (x) - int (sec^2 (x) - 1) s e c (x) d x

= sec (x) tan (x) - int sec^3 (x) d x + int s e c ( x ) d x

Trazendo novamente o temos int sec^3 (x) d x para o lado direito da relação:

2 int sec^3 (x) d x = sec (x) tan (x) + l n | sec (x) + t a n ( x ) | + c_1

Agora dividindo por 2:

int sec^3 (x) d x = (1)/(2) [ sec (x) tan (x) + l n | sec (x) + tan (x) |+ c_1]

Calculando a segunta integral, temos

int s e c (x) d x = l n | sec (x) + t a n ( x ) | + c_2

Passo 3

Agora que calculamos cada integral, podemos calcular

int sec^3 (x) d x - int s e c (x) d x

= (1)/(2) [ sec (x) tan (x) + l n | sec (x) + tan (x) |+ c_1] - l n | sec (x) + t a n ( x ) | + c_2

= (1)/(2) sec (x) tan (x) + (1)/(2) ln |sec (x) + tan (x)| + (c_1)/(2) - ln |sec (x) + tan (x)| + c_2

Pense o seguinte, uma constante dividido por algum numero, ainda é uma constante, e essa constante somada a outra constante, é outra constante. Vou chamar esta constante de k

(1)/(2) sec (x) tan (x) + (1)/(2) ln |sec (x) + tan (x)| + (c_1)/(2) - ln |sec (x) + tan (x)| + c_2

= (1)/(2) sec (x) tan (x) - (1)/(2) ln |sec (x) + tan (x)| + k

= (1)/(2) [sec (x) tan (x) - ln |sec (x) + tan (x)|] + k

Resposta

int tan^2 (x) s e c ( x ) d x = (1)/(2) [sec (x) tan (x) - ln |sec (x) + tan (x)|] + k

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