Calcule a integral

∫ tan 2 ⁡ x s e c ⁡ ( x ) d x

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral.

Uma forma de facilitar a resolução de integrais trigonométricas é utilizar das identidades trigonométricas.

A gente precisa lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: tan 2 ⁡ ( x ) + 1 = sec 2 ⁡ ( x )

Então, vamos fazer o seguinte,

∫ tan 2 ⁡ x s e c ⁡ ( x ) d x = ∫ ( sec 2 ⁡ x - 1 ) s e c ⁡ ( x ) d x

= ∫ sec 3 ⁡ x - sec ⁡ x d x

Vamos separar esta integral em duas, daí

∫ sec 3 ⁡ x - sec ⁡ x d x = ∫ sec 3 ⁡ x d x - ∫ s e c x d x

Passo 2

Vamos calcular separadamente cada integral.

Calculando a primeira pela integração por partes

∫ sec 3 ⁡ x d x

Seja u = s e c ⁡ ( x ) temos que d u = sec ⁡ x tan ⁡ x d x

Seja d v = sec 2 ⁡ ( x ) d x , temos que v = t a n ⁡ ( x )

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x tan ⁡ x - ∫ tan 2 ⁡ x s e c x d x

= sec ⁡ x tan ⁡ x - ∫ sec 2 ⁡ x - 1 s e c x d x

= sec ⁡ x tan ⁡ x - ∫ sec 3 ⁡ x d x + ∫ s e c ( x ) d x

Trazendo novamente o temos ∫ sec 3 ⁡ x d x para o lado direito da relação:

2 ∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x tan ⁡ x + l n ⁡ | sec ⁡ x + t a n ⁡ ( x ) | + c 1

Agora dividindo por 2:

∫ sec 3 ⁡ x d x = 1 2 [ sec ⁡ x tan ⁡ x + l n ⁡ | sec ⁡ x + tan ⁡ x + c 1

Calculando a segunta integral, temos

∫ s e c x d x = l n ⁡ | sec ⁡ x + t a n ⁡ ( x ) | + c 2

Passo 3

Agora que calculamos cada integral, podemos calcular

∫ sec 3 ⁡ x d x - ∫ s e c x d x

= 1 2 [ sec ⁡ x tan ⁡ x + l n ⁡ | sec ⁡ x + tan ⁡ x + c 1 - l n ⁡ | sec ⁡ x + t a n ⁡ ( x ) | + c 2

= 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + c 1 2 - ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + c 2

Pense o seguinte, uma constante dividido por algum numero, ainda é uma constante, e essa constante somada a outra constante, é outra constante. Vou chamar esta constante de k

1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + c 1 2 - ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + c 2

= 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x - 1 2 ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + k

= 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x - ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + k

Resposta

∫ tan 2 ⁡ x s e c ( x ) d x = 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x - ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + k

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