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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 26

Determine a área das regiões delimitadas pelas curvas e retas

y = 8 c o s x ,     y = sec 2 ⁡ ( x )       ,     - π 3 ≤ x ≤ π 3

Passo 1

Esboçando o gráfico para identificar qual a função que está acima e qual está abaixo, parece uma boa ideia. Já que pela definição

A = ∫ a b f x - g x d x

Ou seja, área da região entre as curvas, é a integral da função de cima f ( x ) menos a função de baixo g x .

Passo 2

Esboçando o gráfico da função, seja por um software, ou substituindo alguns valores em cada umas das funções para obter pontos, teremos um gráfico como esse ou parecido,

Onde, pelo que podemos ver temos duas regiões, isto é , de - π 3 até π 3 , y   = 8 c o s x   é a função que está por cima , y = sec 2 ⁡ ( x )   .Sendo que a parte hachurada é região que desejamos calcular a área. Dessa forma a integral será:

∫ - π 3 π 3 8 c o s x - s e c   ( x ) 2 d x

Passo 3

Já que encontramos a “cara” integral que para determinar a área, então vamos partir para os cálculos e ver quando essa integral vai dar, ou seja,

Primeiramente, usando a regra da subtração (a integral da subtração é a subtração das integrais)

= ∫ - π 3 π 3 8 c o s x d x - ∫ - π 3 π 3 s e c   ( x ) 2 d x

= 8   s e n x ​ - π 3 π 3 - t g x ​ - π 3 π 3

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo Parte II,

= 8 s e n π 3 - s e n - π 3 - t g π 3 - t g - π 3

= 8 s e n π 3 + s e n π 3 - t g π 3 + t g π 3 =   8 2 . s e n π 3 - 2 . t g π 3

= 8 2 . 3 2   - 2 . 3 = 8 3   - 2 . 3 = 8 3 - 2 3 = 6 3 .

Resposta

Área da região entre   y = 8 c o s ⁡ ( x ) , y = sec 2 ⁡ ( x ) ,   quando - π 3 ≤ x ≤ π 3 é igual à   6 3 .

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