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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 17

Determine a área das regiões delimitadas pelas curvas e retas

x + y = 1     ,   y = 0   ,   x = 0

Passo 1

Inicialmente precisamos deixar todas as curvas em relação a uma única variável. Dessa maneira vamos fazer algumas manipulações, ou seja,

x + y = 1 ⇒ y = 1 - x   ⇒ y 2 = 1 - x   2   ⇒ y   = 1 - x   2

Em seguida,esboçando o gráfico para identificar qual a função que está acima e qual está abaixo, parece uma boa ideia. Já que pela definição

A = ∫ a b f x - g x d x

Ou seja, área da região entre as curvas, é a integral da função de cima f ( x ) menos a função de baixo g x .

Passo 2

Esboçando o gráfico da função, seja por um software, ou substituindo alguns valores em cada umas das funções para obter pontos, teremos um gráfico como esse ou parecido,

Onde, pelo que podemos ver temos duas regiões, isto é , de 0 até 1 y   = 1 - x   2 é a função que está por cima , y = 0   .Sendo que a parte hachurada é região que desejamos calcular a área. Dessa forma a integral será:

∫ 0 1 1 - x   2   - 0 d x

Cujo intervalo de integração corresponde ao intervalo da parte hachurada.

Passo 3

Já que encontramos a “cara” integral que para determinar a área, então vamos partir para os cálculos e ver quando essa integral vai dar, ou seja,

∫ 0 1 1 - x   2   - 0 d x

Desenvolvendo o termo ao quadrado,

= ∫ 0 1   1 2 - 2.1 . x + x 2 d x

= ∫ 0 1   1 - 2 x - x d x

Usando a regra da soma (a integral da soma é a soma das integrais) a regra da subtração (a integral da subtração é a subtração das integrais)

= ∫ 0 1   1 d x - 2 ∫ 0 1 x d x + = ∫ 0 1   x d x

Usando o fato de x = x 1 2   e a regra de retirada da constante (integral da constante é a constante vezes a integral).

= ∫ 0 1   1 d x - 2 ∫ 0 1 x 1 2 d x + ∫ 0 1   x d x

= x ​ 0 1   - 2 . 2 3 . x 3 2 ​ 0 1   +   x 2 2 ​ 0 1

= x ​ 0 1   - 4 3 . x 3 2 ​ 0 1   +   x 2 2 ​ 0 1

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo Parte II,

= 1 - 0 - 4 3 . 1 3 2 - 4 3 . 0 3 2 + 1 2 2 - 0 2 2

= 1 - 4 3 . 1 3 - 4 3 . 0 3 + 1 2 - 0 2

= 1 - 4 3 . 1 - 4 3 . 0 + 1 2 - 0

= 1 - 4 3 - 0 + 1 2 - 0

= 1 - 4 3 + 1 2

= 1 - 4 3 + 1 2

= 1 6

Resposta

Área da região entre   x + y = 1   , y = 0 e   x = 0 ,   quando 0 ≤ x ≤ 1 é igual à   1 6 .

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