Encontre a derivada da função.

y = tg 2 ⁡ 3 θ

Passo 1

Eaee, belezinha??

Bom.. queremos determinar a derivada da seguinte função:

y = tg 2 ⁡ 3 θ

Parece complicado?

Perceba que a função y se trata de uma função composta.

y = f g x

Então a melhor maneira de derivar essa função é usar a regra da cadeia, que é dada da seguinte forma:

F ' x = f ' g x . g ' x

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

A primeira coisa que temos que fazer, é identificar a função de dentro e a função de fora...

Se y = tg 2 ⁡ 3 θ , podemos definir que

g θ = tan ⁡ 3 θ

f g θ = g θ 2

Quando aplicamos a regra da cadeia, na derivada da função de fora, consideramos a função de dentro como uma variavel.

Portanto a derivada de y é dada por

y ' = d tan ⁡ 3 θ d θ · d g 2 d g

Mas perceba que tan ⁡ 3 θ ainda é uma função composta... então vamos aplicar a regra da cadeia novamente nesse termo sendo a função de dentro h θ = 3 θ e a função de fora tan ⁡ h θ .

Aplicando a regra nesse termo, vamos obter

y ' = d 3 θ d θ · d tan ⁡ h d h · d g 2 d g

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora é só derivar os termos...

Começando por 3 θ , pela regra da potencia, temos

d 3 θ d θ = 3

A derivada da tangente é dada pelo teorema fundamental do calculo...

d tan ⁡ h d h = sec 2 ⁡ h

E a derivada de g 2 é obtida tambem pela regra da potencia

d g 2 d g = 2 g

Substituindo em y ' , temos

y ' = d 3 θ d θ · d tan ⁡ h d h · d g 2 d g

y ' = 3 · sec 2 ⁡ h · 2 g

y ' = 6 sec 2 ⁡ h g

Mas não podemos deixar a resposta em função de h e g ...

Se h = 3 θ e g = tan ⁡ 3 θ , temos

y ' = 6 sec 2 ⁡ 3 θ tan ⁡ 3 θ

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

y ' = 6 sec 2 ⁡ 3 θ tan ⁡ 3 θ

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