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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.4 - Ex. 1b

Calcule a integral de linha por dois métodos: a) diretamente e b) utilizando o Teorema de Green.

∮ C x y 2 d x + x 3 d y

C é o retângulo com vértices 0,0 , 2,0 , 2,3 e 0,3 .

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos ver o que a questão quer.

A letra a), ele queria que a gente calculasse a integral de linha

∮ C x y 2 d x + x 3 d y

Diretamente, usando a definição, onde C é a linha de um retângulo representado pelos vértices dele.

Nessa letra b), teremos que utilizar o Teorema de Green

∫ C P d x + Q d y = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Que diz que podemos transformar uma integral de linha em uma integral dupla utilizando a relação acima.

Onde, na integral de linha P é tudo que está ao lado de d x , Q é tudo que está ao lado de d y e C é o contorno da curva. Nessa questão C são os 4 lados do retângulo!

E na integral dupla que vamos fazer, D é o interior da curva que precisa estar orientada positivamente. Que é a área do retângulo nesse caso!

∂ Q ∂ x

É a derivada parcial de Q em relação à x ,

∂ P ∂ y

É a derivada parcial de P em relação à y e

d A = d x d y

E por que faríamos isso?

Bem, essa integral de linha não é muito complicada de resolver, mas existem outras que são quase impossíveis de resolver pela definição. Nesses casos, o teorema facilita nossa vida.

Portanto, como essa resolução é da letra b) Vamos resolver a integral de linha usando o Teorema de Green!

Primeiro, começaremos identificando P e Q e calculando suas derivas parciais, depois montaremos a integral com elas, analisaremos a região D e calcularemos a integral.

Bora começar?

Passo 2

Nosso primeiro passo é identificar P e Q . Temos a integral

∮ C x y 2 d x + x 3 d y

Então, P será tudo que acompanha d y

P x , y = x y 2

E Q será tudo que acompanha d y

Q x , y = x 3

Agora, calculando a derivada parcial de P :

∂ P ∂ y = ∂ x y 2 ∂ y

∂ x y 2 ∂ y = 2 x y

Calculando a derivada parcial de Q :

∂ Q ∂ x =   ∂ x 3 ∂ x

  ∂ x 3 ∂ x = 3 x 2

Portanto,

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 3 x 2 - 2 x y

Passo 3

Montaremos a nova integral agora. Temos

∫ C P d x + Q d y = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Substituindo o que achamos no passo anterior:

∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A = ∬ D 3 x 2 - 2 x y d A

E lembrando que

d A = d x d y

∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A = ∬ D 3 x 2 - 2 x y d y d x

Vamos analisar a região D agora.

Como a nossa região D é uma região retangular com 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 3 , a nossa integral é dada por:

∬ D 3 x 2 - 2 x y d y d x = ∫ 0 2 ∫ 0 3 3 x 2 - 2 x y d y d x

Sempre respeitando a ordem das variáveis! Como d y está por dentro, o seu limite vai por dentro.

Resolvendo a integral em relação à d y , mantendo x como uma constante:

∫ 0 2 ∫ 0 3 3 x 2 - 2 x y d y d x = ∫ 0 2 3 x 2 y - x y 2 0 3 d x

∫ 0 2 3 x 2 y - x y 2 0 3 d x = ∫ 0 2 9 x 2 - 9 x d x

Resolvendo em relação à d x :

∫ 0 2 9 x 2 - 9 x d x = 3 x 3 - 9 x 2 2 0 2

3 x 3 - 9 x 2 2 0 2 = 24 - 18 = 6

Resposta

∮ C x y 2 d x + x 3 d y = 6

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