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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.4 - Ex. 4

Nos Exercícios 1-4, verifique a conclusão do teorema de Green calculando ambos os lados das Equações 3 e 4 para o campo F = M i + N j . Tome os domínios de integração em cada caso como sendo o disco R : x 2 + y 2 ≤ a 2 e sua circunferência de fronteira C : r = ( a c o s ⁡ t ) i + ( a s e n ⁡ t ) j , 0 ≤ t ≤ 2 π .

F = - x 2 y i + x y 2 j

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para esta questão, você deve verificar o teorema de Green calculando ambos os lados da equação 3 e 4 , respectivamente na página 397 e 398 , para o campo F → = M i → + N j ‾ . Você deve tomar e entender os domínios de integração como sendo o disco R : x 2 + y 2 ≤ a 2 e sua circunferência de fronteira C : r → = ( a c o s ⁡ t ) i → + ( asent ) j → ,   0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 2

Observe! Sendo F → = - x 2 y i → + x y 2 j → Calculando F → ( r → ( t ) ) e diferenciando os componentes, temos:

M = - x 2 y = - a 3 c o s 2 ⁡ t  e o diferencial  d x = d ( a c o s ⁡ t ) = - a a s e n ⁡ t d t N = x y 2 = a 3 c o s ⁡ t s e n 2 ⁡ t  e o diferencial  d y = d (  asent  ) = a c o s ⁡ t d t ∂ M ∂ x = - 2 x y , ∂ M ∂ y = - x 2 ∂ N ∂ x = y 2 , ∂ N ∂ y = 2 x y

Passo 3

Você encontrará que o resultado para os dois lados da equação 3 é:

∮     C M d y - N d x = ∫ 0 2 π     - a 4 c o s 3 ⁡ t s e n ⁡ t + a 4 c o s ⁡ t s e n 3 ⁡ t d t = a 4 4 c o s 4 ⁡ t + a 4 4 s e n 4 ⁡ t 0 2 π = 0   ∬ R     ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y = ∬ R     ( - 2 x y + 2 x y ) d x d y = 0

Passo 4

Você encontrará que o resultado para os dois lados da equação 4 é:

∮     C M d x + N d y = ∫ 0 2 π     a 4 c o s 2 ⁡ t s e n 2 ⁡ t + a 4 c o s 2 ⁡ t s e n 2 ⁡ t d t = ∫ 0 2 π     2 a 4 c o s 2 ⁡ t s e n 2 ⁡ t d t =   = ∫ 0 2 π     1 2 a 4 s e n 2 ⁡ 2 t d t = a 4 4 ∫ 0 4 π     s e n 2 ⁡ u d u = a 4 4 u 2 - s e n ⁡ 2 u 4 0 4 π = π a 4 2   ∬ R     ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y = ∬ R     y 2 + x 2 d x d y = ∫ 0 2 π     ∫ 0 a     r 2 r d r d θ = ∫ 0 2 π     a 4 4 d θ = π a 4 2

Resposta

Resposta nos passos.

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