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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.4 - Ex. 18

Encontre a circulação em sentido anti-horário de F = (y + ex ln y)i

+ (ex/y)j ao redor da fronteira da região que está delimitada superiormente pela curva y = 3 – x2 e inferiormente pela curva

y = x4 + 1

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Definimos circulação em sentido anti-horário de F → = M i → + N j → ao redor do caminho C como sendo ∮   C F → ⋅ T → d s = ∮   C M d x + N d y = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y (de acordo com o teorema 5, da página 398).

Passo 2

Sendo o campo vetorial F → = y + e x l n ⁡ y i → + e x y j → atuando sobre a região limitada por C : superiormente por y = 3 - x 2 e inferiormente por y = x 4 + 1 , com - 1 ≤ x ≤ 1 .Encontremos M e N : M = y + e x l n ⁡ y e N = e x y Suas derivadas parciais serão: ∂ M ∂ y = 1 + e x y e ∂ N ∂ x = e x y

Passo 3

Para calcularmos o fluxo exterior substituimos ∂ M ∂ y = 1 + e x y e ∂ N ∂ x = e x y em em ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y e resolvemos a integral dupla, como segue:

  ∬ R     ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y = ∬ R     e x y - 1 + e x y d x d y = ∬ R     - 1 d x d y = ∫ - 1 1     ∫ x 4 + 1 3 - x 2     - d y d x =   = ∫ - 1 1     3 - x 2 - x 4 + 1 d x = ∫ - 1 1     x 4 + x 2 - 2 d x = - 44 15

Passo 4

Assim, o fluxo exterior de F → através de C é - 44 15 .

Resposta

Resposta nos passos.

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