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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.4 - Ex. 17

Encontre o fluxo exterior do campo

F = 3 x y - x 1 + y 2 i + e x + t g - 1 ⁡ y j

através da cardioide r = a ( 1 + c o s ⁡ θ ) , a > 0 .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Definimos o fluxo exterior de F → = M i ‾ + N j ‾ através de C como sendo a integral dupla do d i v ⁡ F → sobre a região R delimitada por C , ∮   C F → ⋅ n → d s = ∮   C M d y - N d x = ∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y (de acordo com o teorema 4, página 397).

Passo 2

Sendo o campo vetorial F → = 3 x y - x 1 + y 2 i → + e x + t a n - 1 ⁡ y j → atuando sobre a região limitada por C : r = a ( 1 + c o s ⁡ θ ) com a maior do que zero.Encontremos M e N : M = 3 x y - x 1 + y 2 e N = e x + t a n - 1 ⁡ y Suas derivadas parciais serão: ∂ M ∂ x = 3 y - 1 1 + y 2 e ∂ N ∂ y = 1 1 + y 2

Passo 3

Para calcularmos o fluxo exterior substituimos ∂ M ∂ x = 3 y - 1 1 + y 2 e ∂ N ∂ y = 1 1 + y 2 em ∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y e resolvemos a integral dupla, como segue:

  ∬ R     ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y = ∬ R     3 y - 1 1 + y 2 + 1 1 + y 2 d x d y   = ∬ R     [ 3 y ] d x d y = ∫ 0 2 π     ∫ 0 a ( 1 + c o s ⁡ θ )     ( 3 r s e n ⁡ θ ) r d r d θ = ∫ 0 2 π     a 3 ( 1 + c o s ⁡ θ ) 3 ( s e n ⁡ θ ) d θ   = - a 3 4 ( 1 + c o s ⁡ θ ) 4 0 2 π = - 4 a 3 - - 4 a 3 = 0

Passo 4

Obs:: A integral ∫ 0 2 π   a 3 ( 1 + c o s ⁡ θ ) 3 ( s e n ⁡ θ ) d θ foi resolvida por substituição, como segue:Adotando u = 1 + c o s ⁡ θ , d u = - s e n ⁡ θ d θ

∫ 0 2 π   a 3 ( 1 + c o s ⁡ θ ) 3 ( s e n ⁡ θ ) d θ = - ∫   a 3 u 3 d u = - a 3 u 4 4 = - a 3 ( 1 + c o s ⁡ θ ) 4 4

Resposta

Assim, o fluxo exterior de F → através de C é zero.

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