Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.4 - Ex. 2

Nos Exercícios 1-4, verifique a conclusão do teorema de Green calculando ambos os lados das Equações 3 e 4 para o campo F = M i + N j . Tome os domínios de integração em cada caso como sendo o disco R : x 2 + y 2 ≤ a 2 e sua circunferência de fronteira C : r = ( a c o s ⁡ t ) i + ( a s e n ⁡ t ) j , 0 ≤ t ≤ 2 π .

F = y i

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Devemos verificar o teorema de Green calculando ambos os lados da equação 3 conforme a página 397 e da equação 4 conforme a página 398, para o campo F → = M i → + N j → . Você deve tomar os domínios de integração como sendo o disco R : x 2 + y 2 ≤ a 2 e sua circunferência de fronteira C : r → = ( a c o s ⁡ t ) i → + ( asent ) j → ,   0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 2

Observel Sendo F → = y i → Calculando F → ( r → ( t ) ) e diferenciando os componentes, temos: M = y = a s e n t e o diferencial d x = d ( a c o s ⁡ t ) = - a s e n t ⁡ d t N = 0 e o diferencial d y = d ( asent ) = a c o s ⁡ t d t

∂ M ∂ x = 0 , ∂ M ∂ y = 1   ∂ N ∂ x = 0 , ∂ N ∂ y = 0

Passo 3

Você vai descobrir que os dois lados da equação 3 são:

∮     C M d y - N d x = ∫ 0 2 π     a 2 s e n ⁡ t c o s ⁡ t d t = a 2 1 2 s e n 2 ⁡ t 0 2 π = 0   ∬ R     ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y = ∬ R     ( 0 + ( 0 ) ) d x d y = 0

Passo 4

Você vai descobrir que os dois lados da equação 4 são:

∮     C M d x + N d y = ∫ 0 2 π     - a 2 s e n 2 ⁡ t d t = - a 2 t 2 - s e n ⁡ 2 t 4 0 2 π = - π a 2   ∬ R     ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y = ∬ R     ( 0 - 1 ) d x d y = ∫ 0 2 π     ∫ 0 a     - r d y d θ = - π a 2

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize a fórmula da área do teorema de Green fornecida acima para encontrar as áreas das regiões delimitadas pelas curvas nos Exercícios 25-28A elipse r(t) = (a cos t)i + (b sen t)j, 0 ≤ t ≤ 2p
Nos Exercícios 5-14, utilize o teorema de Green para encontrar a circulação em sentido anti-horário e o fluxo exterior para o campo F e a curva C.F = (x + y)i – (x2 + y2)jC: O triângulo limitado por y
Nos Exercícios 1-4, verifique a conclusão do teorema de Green calculando ambos os lados das Equações 3 e 4 para o campo F = M i + N j . Tome os domínios de integração em cada caso como sendo o disco R
Seja C a fronteira de uma região na qual o teorema de Green é válido. Utilize o teorema de Green para calculara. ∮C f ( x ) d x + y ( y ) d y b. ∮C k y d x + h x d y( k e h constantes).
Utilize a fórmula da área do teorema de Green fornecida acima para encontrar as áreas das regiões delimitadas pelas curvas nos Exercícios 25-28A astroide r(t) = (cos3 t)i + (sen3 t)j, 0 ≤ t ≤ 2p