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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.4 - Ex. 21

Aplique o teorema de Green para calcular as integrais nos Exercí-

cios 21-24

∮     C y 2 d x + x 2 d y

C: O triângulo limitado por x = 0 , x + y = 1 , y = 0 .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para esta questão esrá necessário você aplicar o teorema de Green ∮   C F → ⋅ T → d s = ∮   C M d x + N d y = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y para calcularmos a integral ∮   C y 2 d x + x 2 d y ,onde C corresponde ao triângulo limitado por x = 0 , x + y = 1 , y = 0 .

Passo 2

Inicialmente você vai definir M e N : M = y 2 , N = x 2 .Assim, suas derivadas parciais serão: ∂ M ∂ y = 3 , ∂ N ∂ x = 2

Passo 3

Dessa forma, para calcular a integral usando o teorema de Green devemos substituir os valores de ∂ M ∂ y e ∂ N ∂ x em ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y e resolver a integral dupla, como segue:

∮     C y 2 d x + x 2 d y = ∬ R     [ 2 x - ( 2 y ) ] d x d y   = 4 ∫ 0 1     ∫ 0 1 - x     ( 2 x - 2 y ) d y d x = 4 ∫ 0 1     - 3 x 2 + 4 x - 1 d x   = - x 3 + 2 x 2 - x 0 1 = - 1 + 2 - 1 = 0

Resposta

Com isso, você vai concluir corretamente que a integral de F → ao longo de C é zero.

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