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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.2 - Ex. 2

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

int_C ( x // y ) d s , C : x = t^3 , y = t^4 , 1 <= t <= 2

Passo 1

Galera, a gente tem que escrever a integral de linha como uma integral iterada, mudando para a variável t , conforme a curva C .

Como 1 <= t <= 2 , 1 e 2 vão ser os limites de integração. Também teremos:

(x)/(y) = (t^3)/(t^4) = (1)/(t)

d s = sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) d t = sqrt((3 t^2)^2 + (4 t^3)^2) d t = sqrt(9 t^4 + 16 t^6) d t

Podemos simplificar essa expressão pra facilitar o cálculo da integral mais a frente:

d s = sqrt(9 t^4 + 16 t^6) d t = sqrt(t^4 ( 9 + 16 t^2 )) d t = t^2 sqrt(9 + 16 t^2) d t

Juntando todas essas informações, podemos escrever:

int_C ( x // y ) d s = int_1^2 (1)/(t) * t^2 sqrt(9 + 16 t^2) d t = int_1^2 t sqrt(9 + 16 t^2) d t

Passo 2

Agora vamos resolver a integral obtida, substituindo:

u = 9 + 16 t^2

d u = 32 t d t

t d t = (d u)/(3 2)

Além disso, vamos aplicar a substuição também nos limites de integração:

t = 1 -> u = 9 + 16 * 1^2 = 25

t = 2 -> u = 9 + 16 * 2^2 = 73

Com isso, temos:

int_1^2 t sqrt(9 + 16 t^2) d t = (1)/(32) int_(25)^(73) sqrt(u) d u

(1)/(32) int_(25)^(73) u^((1)/(2)) d u = (1)/(32) [(2)/(3) * u^((3)/(2))]_(25)^(73) = (1)/(48) [u^((3)/(2))]_(25)^(73) = (1)/(48) (73^((3)/(2)) - 25^((3)/(2)))

Resposta

(1)/(48) (73^((3)/(2)) - 25^((3)/(2)))

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