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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 9

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

int_C x y^3 d s , C : x = 4 s e n t , y = 4 cos t , z = 3 t , 0 <= t <= (pi)/(2)

Passo 1

Galera, a gente tem que escrever a integral de linha como uma integral iterada, mudando para a variável t , conforme a curva C .

Como 0 <= t <= (pi)/(2) , 0 e (pi)/(2) vão ser os limites de integração.

Substituindo x e y na integral ficamos com:

x y^3 = 4 s e n t . 4^3 cos^3 t = 256 cos^3 t s e n t

Passo 2

Galera, repara que ainda não podemos montar a integral, precisamos achar o nosso d s . Ele é dado por

d s = sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2 + ((d z)/(d t))^2) d t

Onde,

x = 4 s e n t

(d x)/(d t) = 4 cos t

y = 4 cos t

(d y)/(d t) = - 4 s e n t

z = 3 t

(d z)/(d t) = 3

Juntando todas essas informações, podemos escrever:

d s = sqrt((4 cos t)^2 + (- 4 s e n t)^2 + (3)^2) d t = sqrt(16 + 9) d t = 5 d t

Passo 3

Agora vamos juntar tudo e resolver a integral obtida:

int_C x y^3 d s = int_0^((pi)/(2)) 1280 cos^3 t s e n t d t

= 1280 [- (cos^4 t)/(4)]_0^((pi)/(2))

= 320 (0 + 1)

= 320

Resposta

320

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O fio mostrado na Figura 9.22 conduz uma corrente i . Determinar a intensidade do campo magnético B → no centro de C do semicírculo, produzido:Por um dos segmentos de reta de comprimento l .
O fio mostrado na Figura 9.22 conduz uma corrente i . Determinar a intensidade do campo magnético B → no centro de C do semicírculo, produzido:b) pelo fio todo.
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