Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C x y 3 d s   ,                     C :         x = 4   s e n   t   ,   y = 4 cos ⁡ t ,       z = 3 t   ,           0 ≤ t ≤ π 2

Passo 1

Galera, a gente tem que escrever a integral de linha como uma integral iterada, mudando para a variável t , conforme a curva C .

Como 0 ≤ t ≤ π 2 , 0 e π 2 vão ser os limites de integração.

Substituindo x e y na integral ficamos com:

x y 3 = 4   s e n t   .   4 3 cos 3 ⁡ t = 256 cos 3 ⁡ t s e n   t

Passo 2

Galera, repara que ainda não podemos montar a integral, precisamos achar o nosso d s . Ele é dado por

d s = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2   d t

Onde,

  x = 4   s e n   t  

d x d t = 4 cos ⁡ t

  y = 4 cos ⁡ t

d y d t = - 4   s e n   t

z = 3 t

d z d t = 3

Juntando todas essas informações, podemos escrever:

d s = 4 cos ⁡ t 2 + - 4   s e n   t 2 + 3 2   d t = 16 + 9   d t = 5   d t

Passo 3

Agora vamos juntar tudo e resolver a integral obtida:

∫ C x y 3 d s = ∫ 0 π 2 1280 cos 3 ⁡ t s e n t   d t

= 1280 - cos 4 ⁡ t 4 0 π 2

= 320 0 + 1

= 320

Resposta

320

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