Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 10
Calcule a integral de linha, onde é a curva dada.
é o segmento de reta de a .
Passo 1
Fala, galera!
Nessa questão precisamos calcular essa integral de linha aqui, olha só:
Onde nos deram informações sobre a região , que é o segmento de reta de a . Belê?
Para resolvermos essa questão, precisamos encontrar a equação dessa reta parametrizada (já que para integrais de linhas precisamos sempre parametrizar) e jogar numa fórmula top de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos criar um vetor através dos pontos que temos.
Vamos chamar cada ponto de
Então, o vetor:
Por que fizemos isso? Para jogarmos na fórmula da equação parametrizada da reta:
Vamos escolher qualquer um dos pontos e substituir na fórmula:
Assim, achamos:
Passo 3
Também podemos parametrizar nossa função. Assim, teremos:
Um ponto importante pra nós é essa próxima fórmula aqui:
Fazendo a integral de em relação a , chegaremos a
Jogando na fórmula:
Juntando todas essas informações, podemos escrever:
Passo 4
Agora vamos resolver a integral obtida:
Jogando a raiz para fora da integral como uma constante, resolvemos:
Substituindo os limites de integração: