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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 4c

4. Calcule

∫ C F ⋅ d   r →

Onde

c. F   x , y = y + 3 x , 2 y - x e C é a elipse 4 x 2 + y 2 = 4 , percorrida no sentido anti-horario

Passo 1

OIII , estamos na seção agora de integrais de linha em campo vetorial. Pra mim é mais fácil que campo escalar, porque não precisamos tirar modulo das nossas parametrizações. Então temos um passo a menos. Quando temos uma integral de linha podemos fazer uma parametrização para deixá-la mais simples

∫ C F ⋅ d   r →

Logo se dissermos que

  r = γ t

d r = γ ' t d t

Assim, nossa integral parametrizada fica no seguinte formato

∫ C F ⋅ d   r → =   ∫ t 0 t 1 F γ ( t ) ⋅ γ ' t d t

Bora cair dentro !!!! \o/

Passo 2

No nosso caso temos que C é a elipse

4 x 2 + y 2 = 4 .

Logo uma parametrização que nos ajuda é passar nosso sistema de coordenadas cartesianas para polares, para quem tem alguma dificuldade com elipses vou fazer um passo -a -passo rapidinho. Se liga só

4 x 2 + y 2 = 4

x 2 1 2 + y 2 2 2 = 1

Agora vamos comparar com

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

E faremos uma comparação

cos 2 ⁡ t =   x 2 1 2

cos ⁡ t = x

Agora com y

sen 2 ⁡ t = y 2 2 2

2 sen ⁡ t = y

E com isso nós achamos nossa   parametrização

γ t = cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t  

γ ' t = - sen ⁡ t , 2 cos ⁡ t  

t ∈ 0,2 π

Show!!! Já conseguimos boa parte do processo, agora só falta parametrizar nossa função

F   x , y = y + 3 x , 2 y - x

F   γ t = 2 sen ⁡ t + 3 cos ⁡ t , 4 sen ⁡ t - cos ⁡ t

Passo 3

Bora integrar!

∫ C F ⋅ d   r → =   ∫ t 0 t 1 F γ ( t ) ⋅ γ ' t d t

=   ∫ 0 2 π 2 sen ⁡ t + 3 cos ⁡ t , 4 sen ⁡ t - cos ⁡ t ⋅ - sen ⁡ t , 2 cos ⁡ t   d t

=   ∫ 0 2 π - 2 sen 2 ⁡ t - 3 sen ⁡ t cos ⁡ t + 8 sen ⁡ t cos ⁡ t - 2 cos ² ⁡ t d t

=   ∫ 0 2 π - 2 + 5 sen ⁡ t cos ⁡ t d t

=   ∫ 0 2 π - 2 + 5 2 sen ⁡ 2 t d t

A função sen ⁡ 2 t integrada dentro de um ciclo inteiro, ou seja no intervalo 0,2 π , se anula. Logo é menos uma conta para se preocupar. Esse é o magico de função trigonométricas, elas muitas vezes se anulam. O que nos poupa trabalho.

  ∫ 0 2 π - 2 + 5 2 sen ⁡ 2 t d t →   ∫ 0 2 π - 2 d t

=   - 4 π

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ C F ⋅ d   r → =   - 4 π

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