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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.2 - Ex. 1

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

int_C y d s , C : x = t^2 , y = 2 t , 0 <= t <= 3

Passo 1

Galera, a gente tem que escrever a integral de linha como uma integral iterada, mudando para a variável t , conforme a curva C .

Como 0 <= t <= 3 , 0 e 3 vão ser os limites de integração. Como y = 2 t , substituímos y = 2 t . E além disso, temos:

d s = sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) d t = sqrt((2 t)^2 + (2)^2) d t = sqrt(4 t^2 + 4) d t

Juntando todas essas informações, podemos escrever:

int_C 2 t d s = int_0^3 2 t sqrt(4 t^2 + 4) d t

Passo 2

Agora vamos resolver a integral obtida, fazendo a substituição u = 4 t^2 + 4 -> d u = 8 t d t :

int_0^3 2 t sqrt(4 t^2 + 4) d t = 2 int_0^3 (t sqrt(u))/(8 t) d u

Simplificando:

(1)/(4) int_0^3 sqrt(u) d u

= (1)/(4) [(2 u^((3)/(2)))/(3)]_4^(40) = (1)/(6) [(40)^(3 // 2) - (4)^(3 // 2)] = (4)/(3) (10 sqrt(10) - 1)

Resposta

(4)/(3) (10 sqrt(10) - 1)

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