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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.3 - Ex. 44

Calcule a integral

∫ - 2 2 f x d x

onde

f x = 2 ,     s e - 2 ≤ x ≤ 0 4 - x 2 ,     s e   0 < x ≤ 2

Passo 1

E aí, galera. Belezinha?

Precisamos calcular a integral

∫ - 2 2 f x d x

onde

f x = 2 ,     s e - 2 ≤ x ≤ 0 4 - x 2 ,     s e   0 < x ≤ 2 .

Pra deixar as coisas mais fáceis, vamos relembrar de algumas propriedades das integrais.

  • A integral de uma função constante é dada por

    • ∫ a b c   d x = c b - a .

  • A integral da soma é a soma das integrais

    • ∫ a b f x + g x d x = ∫ a b f x d x + ∫ a b g x d x .

  • Se dividirmos o intervalo de integração em dois intervalos, podemos calcular a integral em cada intervalo menor e somar.

    • ∫ a b f x d x =   ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x .

  • O Teorema Fundamental do Cálculo. Se F é uma primitiva de f , ou seja, se F ' = f , então

    • ∫ a b f x d x = F x ​ a b =   F b - F a .

    No nosso caso, temos que a = - 2 , b = 2 .   Assim, para calcularmos a integral pedida, precisamos apenas encontrar uma primitiva F ( x ) de f e fazer as contas necessárias, beleza?

    Para encontrar a primitiva F ,p vamos precisar da Refra da Potência.

  • Uma primitiva da função x n é a função

F x = x n + 1 n + 1 ,

para qualquer n ≠ 1 .

Bora calcular essa integral?

Passo 2

A ideia aqui é reescrever a integral dada de uma forma mais conveniente, usando as propriedades mencionadas no passo anterior.

Começamos dividindo a integral em dois intervalos, conforme a definição da função f .

Então:

∫ - 2 2 f x d x = ∫ - 2 0 f x d x + ∫ 0 2 f x d x .

Passo 3

Como

∫ - 2 0 f x d x =   ∫ - 2 0 2   d x ,

então a integral da função constante f x =   2   é

∫ - 2 0 f x   d x = 2 0 - ( - 2 ) =   4 .

Molezinha! Agora vamos para o outro intervalo.

Queremos calcular

∫ 0 2 f x d x =   ∫ 0 2 4 - x 2 d x .  

Usando a propriedade da integral da soma, temos que

∫ 0 2 f x d x =   ∫ 0 2 4 d x -   ∫ 0 2 x 2 d x .

Novamente dividimos em duas integrais, mas uma delas é fácil:

∫ 0 2 4 d x = 4 2 - 0 = 8 .

Para a outra, lembramos que a primitiva de x 2 é x 3 3   (Regra da Potência) logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, vale que

∫ 0 2 x 2 d x = x 3 3 ​ 0 2 = 8 3 .    

Agora falta só juntarmos as integrais encontradas.

Passo 4

Relembrando que

∫ - 2 2 f x d x = ∫ - 2 0 f x d x + ∫ 0 2 f x d x

e cada uma dessas integrais da direita valem

∫ - 2 0 f x d x =   ∫ - 2 0 2   d x =   4

e

∫ 0 2 f x d x = ∫ 0 2 4 d x -   ∫ 0 2 x 2 d x = 8 - 8 3 .

Então a integral procurada é dada por:

∫ - 2 2 f x d x = 4 + 8 - 8 3 = 28 3 .

Resposta

A integral procurada é dada por:

∫ - 2 2 f x d x = 28 3

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