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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 18

Calcule

int_0^1 root(8)(x) d x

Passo 1

Podemos reescrever como sendo:

int_0^1 root(8)(x) d x = int_0^1 x^((1)/(8)) d x

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1)

Para int x^((1)/(8)) d x , n = (1)/(8)

int x^((1)/(8)) d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^(((1)/(8)) + 1))/(((1)/(8)) + 1) = (x^((9)/(8)))/((9)/(8)) = (8)/(9) x^((9)/(8))

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (x) uma primitiva de f (x) , então:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Assim: [(8)/(9) x^((9)/(8))] (1)/(0) =

= (8)/(9) (1^((9)/(8)) - (0)^((9)/(8))) = (8)/(9) (1) = (8)/(9)

Resposta

int_0^1 root(8)(x) d x = (8)/(9)

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