Calcule

∫ 1 4 1 + x x d x

Passo 1

Podemos reescrever a integral como sendo:

∫ 1 4 1 + x x d x = ∫ 1 4 1 x d x + ∫ 1 4 x x d x = ∫ 1 4 x - 1 2 d x + ∫ 1 4 x 1 2 d x

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Para ∫ x - 1 2 d x , n = - 1 2

∫ x - 1 2 d x = x n + 1 n + 1 = x - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 = x 1 2 1 2 = 2 x 1 2

Para ∫ x 1 2 d x = ∫ x 1 2 d x , n = 1 2

∫ x 1 2 d x = x n + 1 n + 1 = x 1 2 + 1 1 2 + 1 = x 3 2 3 2 = 2 3 x 3 2

Para ∫ d x = ∫ x 0 d x , n = 0

∫ x 0 d x = x n + 1 n + 1 = x 0 + 1 0 + 1 = x 1 1 = x

∫ 1 4 1 + x x d x =   2 x 1 2 + 2 3 x 3 2

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F x uma primitiva de f x , então:

∫ a b f x d x = F b - F a

Assim: 2 x 1 2 + 2 3 x 3 2 4 1 =

= 2 4 1 2 + 2 3 4 3 2 - 2 1 1 2 + 2 3 1 3 2 = 2 2 2 1 2 + 2 3 2 2 3 2 - 2 + 2 3  

= 2 × 2 + 2 3 × 2 3 - 6 + 2 3 = 4 + 16 3 - 8 3 = 12 + 16 - 8 3 = 20 3

Resposta

∫ 1 4 1 + x x d x = 20 3

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