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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 29

Calcule

int_1^4 ((1 + x))/(sqrt(x)) d x

Passo 1

Podemos reescrever a integral como sendo:

int_1^4 ((1 + x))/(sqrt(x)) d x = int_1^4 (1)/(sqrt(x)) d x + int_1^4 (x)/(sqrt(x)) d x = int_1^4 x^(- (1)/(2)) d x + int_1^4 x^((1)/(2)) d x

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1)

Para int x^(- (1)/(2)) d x , n = - (1)/(2)

int x^(- (1)/(2)) d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^((- (1)/(2)) + 1))/(- (1)/(2) + 1) = (x^((1)/(2)))/((1)/(2)) = 2 x^((1)/(2))

Para int x^((1)/(2)) d x = int x^((1)/(2)) d x , n = (1)/(2)

int x^((1)/(2)) d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^(((1)/(2)) + 1))/((1)/(2) + 1) = (x^((3)/(2)))/((3)/(2)) = (2)/(3) x^((3)/(2))

Para int d x = int x^0 d x , n = 0

int x^0 d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^((0) + 1))/(0 + 1) = (x^1)/(1) = x

int_1^4 ((1 + x))/(sqrt(x)) d x = [2 x^((1)/(2)) + (2)/(3) x^((3)/(2))]

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (x) uma primitiva de f (x) , então:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Assim: [2 x^((1)/(2)) + (2)/(3) x^((3)/(2))] (4)/(1) =

= (2 (4)^((1)/(2)) + (2)/(3) (4)^((3)/(2)) - (2 (1)^((1)/(2)) + (2)/(3) (1)^((3)/(2)))) = (2 (2^2)^((1)/(2)) + (2)/(3) (2^2)^((3)/(2)) - (2 + (2)/(3)))

= (2 xx 2 + (2)/(3) xx 2^3 - ((6 + 2)/(3))) = (4 + (16)/(3) - ((8)/(3))) = ((12 + 16 - 8)/(3)) = (20)/(3)

Resposta

int_1^4 ((1 + x))/(sqrt(x)) d x = (20)/(3)

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