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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 20

Calcule

int_0^1 (x + root(4)(x)) d x

Passo 1

Podemos reescrever como sendo:

int_0^1 (x + root(4)(x)) d x = int_0^1 x d x + int_0^1 root(4)(x) d x = int_0^1 x d x + int_0^1 x^((1)/(4)) d x

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1)

Para int x d x = int x^1 d x , n = 1

int x^1 d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^((1) + 1))/((1) + 1) = (x^2)/(2)

Para int x^((1)/(4)) d x , n = (1)/(4)

int x^1 d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^((1)/(4) + 1))/(((1)/(4)) + 1) = (x^((5)/(4)))/((5)/(4)) = (4)/(5) x^((5)/(4))

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (x) uma primitiva de f (x) , então:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Assim: [(x^2)/(2) + (4)/(5) x^((5)/(4))] (1)/(0) =

= (1)/(2) (1^2 - 0^2) + (4)/(5) ((1)^(5 // 4) - (0)^(5 // 4)) = (1)/(2) + (4)/(5) = (5 + 8)/(10) = (13)/(10)

Resposta

int_0^1 (x + root(4)(x)) d x = (13)/(10)

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