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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 17

Calcule

int_(- 1)^0 (x^3 - 2 x + 3) d x

Passo 1

Podemos reescrever como sendo:

int_(- 1)^0 (x^3 - 2 x + 3) d x = int_(- 1)^0 x^3 d x - int_(- 1)^0 2 x d x + int_(- 1)^0 3 d x

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1)

Para int x^3 d x , n = 3

int x^3 d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^((3) + 1))/((3) + 1) = (x^4)/(4)

Para int x d x = int x^1 d x , n = 1

int x d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^((1) + 1))/((1) + 1) = (x^2)/(2)

int d x = int x^0 d x , n = 0

int x^0 d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^((0) + 1))/((0) + 1) = (x^1)/(1) = x

Reescrevendo:

int_(- 1)^0 x^3 d x - int_(- 1)^0 2 x d x + int_(- 1)^0 3 d x = [(x^4)/(4) - (2 x^2)/(2) + 3 x] (0)/(- 1) = [(x^4)/(4) - x^2 + 3 x] (0)/(- 1)

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (x) uma primitiva de f (x) , então:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Assim: [(x^4)/(4) - x^2 + 3 x] (0)/(- 1) =

= ((0^4)/(4) - 0^2 + 3 xx 0 - (((- 1)^4)/(4) - (- 1)^2 + 3 (- 1))) = - ((1)/(4) - 1 - 3) = - ((1 - 16)/(4)) = (15)/(4)

Resposta

int_(- 1)^0 (x^3 - 2 x + 3) d x = (15)/(4)

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