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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.1 - Ex. 5

Calcule a integral

int (3 sec^2 t d t)/(6 + 3 tg t)

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

int (3 sec^2 t d t)/(6 + 3 tg t)

A princípio, não é fácil perceber alguma primitiva da nossa função. Agora, ao analisar o denominador e o numerador, é possível notar uma relação entre eles. Se fizermos uma mudança de variáveis, chamar u = 6 + 3 t g t , consequentemente, temos d u = 3 sec^2 t d t . Fazendo esta substituição, obtemos a seguinte integral indefinida.

int (3 sec^2 t d t)/(6 + 3 tg t) = int (d u)/(u)

Agora, conseguimos uma função facilmente integrável.

Passo 3

Portanto, temos que resolver a integral indefinida acima. Desta forma, temos:

int (d u)/(u) = ln |u| + k

Voltando para a variável inicial, temos:

ln |u| + k = ln |6 + 3 t g t| + k

Portanto, a integral indefinida do nosso problema possui a seguinte resolução:

int (3 sec^2 t d t)/(6 + 3 tg t) = ln |6 + 3 t g t| + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k ! Como estamos resolvendo uma integral indefinida, não podemos esquecer dele viu!

Resposta

int (3 sec^2 t d t)/(6 + 3 tg t) = ln |6 + 3 t g t| + k

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